Rekenkundige versus geometrische reeks
De wiskundige definitie van een reeks hangt nauw samen met de reeksen. Een reeks is een geordende reeks getallen en kan een eindige of een oneindige reeks zijn. Een reeks getallen waarbij het verschil tussen twee elementen een constante is, staat bekend als een rekenkundige progressie. Een reeks met een constant quotiënt van twee opeenvolgende getallen staat bekend als een geometrische progressie. Deze progressies kunnen eindig of oneindig zijn, en als het eindig is, is het aantal termen telbaar, anders ontelbaar.
Over het algemeen kan de som van de elementen in een reeks worden gedefinieerd als een reeks. De som van een rekenkundige reeks staat bekend als een rekenkundige reeks. Evenzo staat de som van een meetkundige reeks bekend als een meetkundige reeks.
Meer over Rekenreeksen
In een rekenkundige reeks hebben de opeenvolgende termen een constant verschil.
Sn =a1 + a2 + a3+ a4 +⋯+ an =∑i=1ai; waarbij a2 =a1 + d, a3 =a2 + d, enzovoort.
Dit verschil d staat bekend als het algemene verschil, en de term nth wordt gegeven door an =a 1+ (n-1)d; waarbij a1 de eerste term is.
Het gedrag van de reeks verandert op basis van het gemeenschappelijke verschil d. Als het gemeenschappelijke verschil positief is, heeft de progressie de neiging om positief oneindig te zijn, en als het gemeenschappelijke verschil negatief is, neigt het naar de negatieve oneindigheid.
De som van de reeks kan worden verkregen door de volgende eenvoudige formule, die voor het eerst werd ontwikkeld door de Indiase astronoom en wiskundige Aryabhata.
Sn =n/2 (a1+ an)=n/2 [2a1 + (n-1)d]
De som Sn kan eindig of oneindig zijn, gebaseerd op het aantal termen.
Meer over de geometrische serie
Een meetkundige reeks is een reeks waarvan het quotiënt van de opeenvolgende getallen constant is. Het is een belangrijke serie die is gevonden in de studie van de serie, vanwege de eigenschappen die het bezit.
Sn =ar + ar2 + ar3 +⋯+ ar n =∑i=1 ari
Op basis van de verhouding r kan het gedrag van de reeks als volgt worden gecategoriseerd. r={|r|≥1 reeks divergeert; r≤1-reeks convergeert}. Ook als r<0 de reeks oscilleert, d.w.z. de reeks heeft afwisselende waarden.
De som van de meetkundige reeks kan worden berekend met behulp van de volgende formule. Sn =a(1-r) / (1-r); waarbij a de beginterm is en r de verhouding. Als de verhouding r-1, convergeert de reeks. Voor een oneindige reeks wordt de waarde van convergentie gegeven door Sn=a / (1-r).
Geometrische serie heeft talloze toepassingen op het gebied van natuurwetenschappen, techniek en economie
Wat is het verschil tussen rekenkundige en geometrische reeksen?
• Een rekenkundige reeks is een reeks met een constant verschil tussen twee aangrenzende termen.
• Een meetkundige reeks is een reeks met een constant quotiënt tussen twee opeenvolgende termen.
• Alle oneindige rekenkundige reeksen zijn altijd divergent, maar afhankelijk van de verhouding kan de geometrische reeks convergent of divergent zijn.
• De geometrische reeks kan oscillatie hebben in de waarden; dat wil zeggen, de getallen veranderen afwisselend van teken, maar de rekenkundige reeks kan geen oscillaties hebben.
