Verschil tussen rekenkundige reeks en geometrische reeks

2024 Auteur: Alex Aldridge | [email protected]. Laatst gewijzigd: 2024-01-17 23:42

Rekenkundige reeks versus geometrische reeks

De studie van patronen van getallen en hun gedrag is een belangrijke studie op het gebied van wiskunde. Vaak zijn deze patronen te zien in de natuur en helpen ons om hun gedrag wetenschappelijk te verklaren. Rekenkundige reeksen en geometrische reeksen zijn twee van de basispatronen die in getallen voorkomen en die vaak worden aangetroffen in natuurlijke fenomenen.

De reeks is een reeks geordende nummers. Het aantal elementen in de reeks kan eindig of oneindig zijn.

Meer over rekenkundige reeks (rekenkundige progressie)

Een rekenkundige reeks wordt gedefinieerd als een reeks getallen met een constant verschil tussen elke opeenvolgende term. Het is ook bekend als rekenkundige progressie.

Rekenreeks ⇒ a₁, a₂, a_3, a₄ , …, a_n; waarbij a₂ =a₁ + d, a₃ =a_{2+ d, enzovoort.}

Als de beginterm a₁ is en het gemeenschappelijke verschil d is, dan wordt de n^{de term van de rij gegeven door;}

a_n =a_{1 + (n-1)d}

Door verder te gaan met het bovenstaande resultaat, kan de term n^{th ook worden gegeven als;}

a_n =a_m + (n-m)d, waarbij a_{m een willekeurige term is in de volgorde zodanig dat n > m.}

De reeks even getallen en de reeks oneven getallen zijn de eenvoudigste voorbeelden van rekenkundige rijen, waarbij elke rij een gemeenschappelijk verschil (d) heeft van 2.

Het aantal termen in een rij kan oneindig of eindig zijn. In het oneindige geval (n → ∞), neigt de rij naar oneindig, afhankelijk van het gemeenschappelijke verschil (a_{n → ±∞). Als het gemeenschappelijk verschil positief is (d > 0), neigt de rij naar positief oneindig en als het gemeenschappelijk verschil negatief is (d < 0), neigt het naar het negatieve oneindig. Als de termen eindig zijn, is de rij ook eindig.}

De som van de termen in de rekenkundige rij staat bekend als de rekenreeks: S_n=a₁ + a ₂ + a₃ + a₄ + ⋯ + a_n =∑ i=1→n _ai; _{en S}n_{=(n/2) (a}1 _{+ a}n_{)=(n/2) [2a}1 _{+ (n-1)d] geeft de waarde van de serie (S}n)

Meer over geometrische reeks (geometrische progressie)

Een geometrische reeks wordt gedefinieerd als een reeks waarin het quotiënt van twee opeenvolgende termen een constante is. Dit wordt ook wel geometrische progressie genoemd.

Geometrische reeks ⇒ a₁, a₂, a₃, a₄ , …, a_n; waarbij a₂/a₁=r, a₃/a_{2=r, enzovoort, waarbij r een reëel getal is.}

Het is gemakkelijker om de geometrische reeks weer te geven met behulp van de gemeenschappelijke verhouding (r) en de beginterm (a). Vandaar de meetkundige reeks ⇒ a₁, a₁r, a₁r^{2, a}1_r3^{, …, a}1_rn-1.

De algemene vorm van de n^th termen gegeven door a_n =a₁r ^n-1. (Het subscript van de beginterm ⇒ a_n =ar^n-1)

De geometrische reeks kan ook eindig of oneindig zijn. Als het aantal termen eindig is, wordt de rij eindig genoemd. En als de termen oneindig zijn, kan de rij oneindig of eindig zijn, afhankelijk van de verhouding r. De gemeenschappelijke verhouding beïnvloedt veel van de eigenschappen in geometrische reeksen.

r > o	0 < r < +1	De rij convergeert – exponentieel verval, d.w.z. an → 0, n → ∞
	r=1	Constante reeks, d.w.z. an=constante
	r > 1	De reeks divergeert – exponentiële groei, d.w.z. an → ∞, n → ∞
r < 0	-1 < r < 0	De reeks oscilleert, maar convergeert
	r=1	De reeks is afwisselend en constant, d.w.z. an=±constant
	r < -1	De volgorde is afwisselend en divergeert. d.w.z. an → ±∞, n → ∞
r=0	De reeks is een reeks nullen

N. B: In alle bovenstaande gevallen, a₁ > 0; als a₁ < 0, worden de tekens gerelateerd aan a_{n omgekeerd.}

Het tijdsinterval tussen het stuiteren van een bal volgt een geometrische reeks in het ideale model, en het is een convergente reeks.

De som van de termen van de meetkundige reeks staat bekend als een meetkundige reeks; S_n =ar+ ar² + ar³ + ⋯ + arⁿ=∑_i=1→n ar^{i. De som van de meetkundige reeks kan worden berekend met de volgende formule.}

S_n =a(1-r^{)/(1-r); waarbij a de beginterm is en r de verhouding.}

Als de verhouding, r ≤ 1, convergeert de reeks. Voor een oneindige reeks wordt de waarde van convergentie gegeven door S_n=a/(1-r)

Wat is het verschil tussen rekenkundige en geometrische reeks/progressie?

• In een rekenkundige rij hebben twee opeenvolgende termen een gemeenschappelijk verschil (d), terwijl in een meetkundige rij elke twee opeenvolgende termen een constant quotiënt (r) hebben.

• In een rekenkundige reeks is de variatie van de termen lineair, d.w.z. er kan een rechte lijn worden getrokken die door alle punten gaat. In een geometrische reeks is de variatie exponentieel; ofwel groeiend of rottend op basis van de gemeenschappelijke verhouding.

• Alle oneindige rekenkundige rijen zijn divergent, terwijl oneindige meetkundige reeksen divergerend of convergent kunnen zijn.

• De meetkundige reeks kan oscillatie vertonen als de verhouding r negatief is, terwijl de rekenkundige reeks geen oscillatie weergeeft