Definitieve vs Onbepaalde Integralen
Calculus is een belangrijke tak van wiskunde, en differentiatie speelt een cruciale rol in calculus. Het inverse proces van de differentiatie staat bekend als integratie, en de inverse staat bekend als de integraal, of eenvoudig gezegd, de inverse van differentiatie geeft een integraal. Op basis van de resultaten die ze produceren, worden de integralen in twee klassen verdeeld; bepaalde en onbepaalde integralen.
Meer over Onbepaalde Integralen
Onbepaalde integraal is meer een algemene vorm van integratie en kan worden geïnterpreteerd als de anti-afgeleide van de beschouwde functie. Stel dat differentiatie van F f geeft, en de integratie van f geeft de integraal. Het wordt vaak geschreven als F(x)=∫ƒ(x)dx of F=∫ƒ dx waarbij zowel F als ƒ functies van x zijn, en F differentieerbaar is. In de bovenstaande vorm wordt het een Reimann-integraal genoemd en de resulterende functie begeleidt een willekeurige constante. Een onbepaalde integraal levert vaak een familie van functies op; daarom is de integraal onbepaald.
Integralen en het integratieproces vormen de kern van het oplossen van differentiaalvergelijkingen. In tegenstelling tot de differentiatie verloopt de integratie echter niet altijd volgens een duidelijke en standaardroutine; soms kan de oplossing niet expliciet worden uitgedrukt in termen van elementaire functie. In dat geval wordt de analytische oplossing vaak gegeven in de vorm van een onbepaalde integraal.
Meer over Definitieve Integralen
Definitieve integralen zijn de zeer gewaardeerde tegenhangers van onbepaalde integralen waarbij het integratieproces in feite een eindig getal oplevert. Het kan grafisch worden gedefinieerd als het gebied dat wordt begrensd door de curve van de functie ƒ binnen een bepaald interval. Telkens wanneer de integratie wordt uitgevoerd binnen een bepaald interval van de onafhankelijke variabele, produceert de integratie een bepaalde waarde die vaak wordt geschreven als a∫bƒ(x) dx of a∫b ƒdx.
De onbepaalde integralen en bepaalde integralen zijn met elkaar verbonden via de eerste fundamentele stelling van de calculus, en daardoor kan de bepaalde integraal worden berekend met behulp van de onbepaalde integralen. De stelling stelt a∫bƒ(x)dx=F(b)-F(a) waarbij zowel F als ƒ functies van x zijn, en F is differentieerbaar in het interval (a, b). Gezien het interval staan a en b respectievelijk bekend als de ondergrens en de bovengrens.
In plaats van te stoppen met alleen echte functies, kan de integratie worden uitgebreid tot complexe functies en die integralen worden contourintegralen genoemd, waarbij ƒ een functie is van de complexe variabele.
Wat is het verschil tussen bepaalde en onbepaalde integralen?
Onbepaalde integralen vertegenwoordigen de anti-afgeleide van een functie, en vaak een familie van functies in plaats van een definitieve oplossing. In bepaalde integralen geeft de integratie een eindig getal.
Onbepaalde integralen associëren een willekeurige variabele (vandaar de familie van functies) en bepaalde integralen hebben geen willekeurige constante, maar een bovengrens en een ondergrens van integratie.
Onbepaalde integraal geeft meestal een algemene oplossing voor de differentiaalvergelijking.
