Orthogonaal vs Orthonormaal
In de wiskunde worden de twee woorden orthogonaal en orthonormaal vaak gebruikt samen met een set vectoren. Hier wordt de term 'vector' gebruikt in de zin dat het een element is van een vectorruimte - een algebraïsche structuur die wordt gebruikt in lineaire algebra. Voor onze discussie zullen we een inproductruimte beschouwen - een vectorruimte V samen met een inproduct gedefinieerd op V.
Voor een inproduct is ruimte bijvoorbeeld de verzameling van alle driedimensionale positievectoren samen met het gebruikelijke puntproduct.
Wat is orthogonaal?
Een niet-lege deelverzameling S van een inproductruimte V is orthogonaal, als en slechts dan als voor elke afzonderlijke u, v in S, [u, v]=0; d.w.z. het inproduct van u en v is gelijk aan de scalaire nul in de inproductruimte.
In de verzameling van alle driedimensionale positievectoren komt dit bijvoorbeeld overeen met zeggen dat voor elk afzonderlijk paar positievectoren p en q in S, p en q loodrecht op elkaar staan. (Denk eraan dat het inproduct in deze vectorruimte het puntproduct is. Ook is het puntproduct van twee vectoren gelijk aan 0 als en slechts als de twee vectoren loodrecht op elkaar staan.)
Beschouw de verzameling S={(0, 2, 0), (4, 0, 0), (0, 0, 5)}, die een subset is van de driedimensionale positievectoren. Merk op dat (0, 2, 0).(4, 0, 0)=0, (4, 0, 0).(0, 0, 5)=0 & (0, 2, 0).(0, 0, 5)=0. De verzameling S is dus orthogonaal. In het bijzonder wordt van twee vectoren gezegd dat ze orthogonaal zijn als hun inproduct 0 is. Daarom is elk paar vectoren in Sis orthogonaal.
Wat is orthonormaal?
Een niet-lege deelverzameling S van een inproductruimte V is orthonormaal als en slechts dan als S orthogonaal is en voor elke vector u in S, [u, u]=1. Daarom is te zien dat elke orthonormale verzameling is orthogonaal maar niet omgekeerd.
Bijvoorbeeld, in de verzameling van alle driedimensionale positievectoren, komt dit overeen met zeggen dat, voor elk afzonderlijk paar positievectoren p en q in S, p en q loodrecht op elkaar staan, en voor elke p in S, |p|=1. Dit komt omdat de voorwaarde [p, p]=1 reduceert tot p.p=|p||p|cos0=|p|2=1, wat gelijk is aan |p |=1. Daarom kunnen we, gegeven een orthogonale verzameling, altijd een corresponderende orthonormale verzameling vormen door elke vector te delen door zijn grootte.
T={(0, 1, 0), (1, 0, 0), (0, 0, 1)} is een orthonormale deelverzameling van de verzameling van alle driedimensionale positievectoren. Het is gemakkelijk in te zien dat het werd verkregen door elk van de vectoren in de verzameling S te delen door hun grootte.
Wat is het verschil tussen orthogonaal en orthonormaal?
- Een niet-lege deelverzameling S van een inproductruimte V is orthogonaal, als en slechts dan als voor elke afzonderlijke u, v in S, [u, v]=0. Het is echter orthonormaal, als en alleen als aan een aanvullende voorwaarde – voor elke vector u in S, [u, u]=1 is voldaan.
- Elke orthonormale set is orthogonaal, maar niet omgekeerd.
- Elke orthogonale set komt overeen met een unieke orthonormale set, maar een orthonormale set kan overeenkomen met veel orthogonale sets.
