Associatief versus commutatief
In ons dagelijks leven moeten we getallen gebruiken wanneer we iets willen meten. In de supermarkt, bij het tankstation en zelfs in de keuken moeten we twee of meer hoeveelheden optellen, aftrekken en vermenigvuldigen. Vanuit onze praktijk voeren we deze berekeningen vrij moeiteloos uit. We merken of vragen ons nooit af waarom we deze bewerkingen op deze specifieke manier doen. Of waarom deze berekeningen niet op een andere manier kunnen. Het antwoord ligt verborgen in de manier waarop deze bewerkingen worden gedefinieerd in het wiskundige veld van de algebra.
In de algebra wordt een bewerking met twee grootheden (zoals optellen) gedefinieerd als een binaire bewerking. Meer precies is het een bewerking tussen twee elementen uit een verzameling en deze elementen worden de 'operand' genoemd. Veel bewerkingen in de wiskunde, waaronder eerder genoemde rekenkundige bewerkingen en bewerkingen die worden aangetroffen in de verzamelingenleer, lineaire algebra en wiskundige logica, kunnen worden gedefinieerd als binaire bewerkingen.
Er is een reeks regels met betrekking tot een specifieke binaire bewerking. Associatieve en commutatieve eigenschappen zijn twee fundamentele eigenschappen van de binaire bewerkingen.
Meer over Commutatief Eigendom
Stel dat er een binaire bewerking, aangegeven met het symbool ⊗, wordt uitgevoerd op de elementen A en B. Als de volgorde van de operanden het resultaat van de bewerking niet beïnvloedt, wordt de bewerking commutatief genoemd. d.w.z. als A ⊗ B=B ⊗ A dan is de bewerking commutatief.
De rekenkundige bewerkingen optellen en vermenigvuldigen zijn commutatief. De volgorde van de getallen bij elkaar opgeteld of vermenigvuldigd heeft geen invloed op het uiteindelijke antwoord:
A + B=B + A ⇒ 4 + 5=5 + 4=9
A × B=B × A ⇒ 4 × 5=5 × 4=20
Maar in het geval van deling geeft verandering in de volgorde het omgekeerde van de ander, en bij aftrekken geeft de verandering het negatieve van de ander. Daarom
A – B ≠ B – A ⇒ 4 – 5=-1 en 5 – 4=1
A ÷ B ≠ B ÷ A ⇒ 4 ÷ 5=0.8 en 5 ÷ 4=1.25 [in dit geval A, B ≠ 1 en 0]
In feite wordt gezegd dat de aftrekking anti-commutatief is; waarbij A – B=– (B – A).
De logische connectieven, de conjunctie, disjunctie, implicatie en de equivalentie zijn ook commutatief. Waarheidsfuncties zijn ook commutatief. De set operaties unie en intersectie zijn commutatief. Optellen en het scalaire product van de vectoren zijn ook commutatief.
Maar de vectoraftrekking en het vectorproduct zijn niet commutatief (vectorproduct van twee vectoren is anticommutatief). De matrixoptelling is commutatief, maar de vermenigvuldiging en de aftrekking zijn niet commutatief.(Vermenigvuldiging van twee matrices kan in speciale gevallen commutatief zijn, zoals de vermenigvuldiging van een matrix met zijn inverse of de identiteitsmatrix; maar matrices zijn zeker niet commutatief als de matrices niet dezelfde grootte hebben)
Meer over associatieve eigenschap
Een binaire bewerking is associatief als de volgorde van uitvoering geen invloed heeft op het resultaat wanneer twee of meer exemplaren van de operator aanwezig zijn. Beschouw de elementen A, B en C en de binaire bewerking ⊗. De bewerking ⊗ is associatief als
A ⊗ B ⊗ C=A ⊗ (B ⊗ C)=(A ⊗ B) ⊗ C
Van de basis rekenfuncties zijn alleen optellen en vermenigvuldigen associatief.
A + (B + C)=(A + B) + C ⇒ 4 + (5 + 3)=(5 + 4) + 3=12
A × (B × C)=(A × B) × C ⇒ 4 × (5 × 3)=(5 × 4) ×3=60
Aftrekken en delen zijn niet associatief;
A – (B – C) ≠ (A – B) – C ⇒ 4 – (5 – 3)=2 en (5 – 4) – 3=-2
A ÷ (B ÷ C) ≠ (A ÷ B) ÷ C ⇒ 4 ÷ (5 ÷ 3)=2,4 en (5 ÷ 4) ÷ 3=0,2666
De logische verbindingswoorden disjunctie, conjunctie en equivalentie zijn associatief, evenals de verzameling bewerkingen unie en intersectie. De matrix- en vectoroptelling zijn associatief. Het scalaire product van vectoren is associatief, maar het vectorproduct niet. Matrixvermenigvuldiging is alleen associatief onder speciale omstandigheden.
Wat is het verschil tussen commutatieve en associatieve eigenschap?
• Zowel de associatieve eigenschap als de commutatieve eigenschap zijn speciale eigenschappen van de binaire bewerkingen, en sommige voldoen eraan en andere niet.
• Deze eigenschappen zijn te zien in vele vormen van algebraïsche bewerkingen en andere binaire bewerkingen in de wiskunde, zoals de kruising en unie in de verzamelingenleer of de logische connectieven.
• Het verschil tussen commutatief en associatief is dat commutatieve eigenschap stelt dat de volgorde van de elementen het eindresultaat niet verandert, terwijl associatieve eigenschap aangeeft dat de volgorde waarin de bewerking wordt uitgevoerd, het uiteindelijke antwoord niet beïnvloedt.
