Kansverdelingsfunctie versus kansdichtheidsfunctie
Kans is de waarschijnlijkheid dat een gebeurtenis plaatsvindt. Dit idee is heel gebruikelijk en wordt vaak gebruikt in het dagelijks leven wanneer we onze kansen, transacties en vele andere dingen beoordelen. Dit eenvoudige concept uitbreiden naar een grotere reeks evenementen is een beetje uitdagender. We kunnen bijvoorbeeld niet gemakkelijk de kansen berekenen om een loterij te winnen, maar het is handig, nogal intuïtief, om te zeggen dat er een kans van één op zes is dat we nummer zes krijgen in een gegooide dobbelsteen.
Wanneer het aantal gebeurtenissen dat kan plaatsvinden groter wordt, of het aantal individuele mogelijkheden groot is, mislukt dit vrij eenvoudige idee van waarschijnlijkheid. Daarom moet er een solide wiskundige definitie aan worden gegeven voordat problemen met een hogere complexiteit worden benaderd.
Als het aantal gebeurtenissen dat in een enkele situatie kan plaatsvinden groot is, is het onmogelijk om elke gebeurtenis afzonderlijk te beschouwen zoals in het voorbeeld van de gegooide dobbelstenen. Daarom wordt de hele reeks gebeurtenissen samengevat door het concept van de willekeurige variabele te introduceren. Het is een variabele die de waarden van verschillende gebeurtenissen in die specifieke situatie (of de steekproefruimte) kan aannemen. Het geeft een wiskundige betekenis aan eenvoudige gebeurtenissen in de situatie en een wiskundige manier om de gebeurtenis aan te pakken. Om precies te zijn, een willekeurige variabele is een reële waardefunctie over de elementen van de steekproefruimte. De willekeurige variabelen kunnen discreet of continu zijn. Ze worden meestal aangeduid met de hoofdletters van het Engelse alfabet.
De kansverdelingsfunctie (of simpelweg de kansverdeling) is een functie die de kanswaarden voor elke gebeurtenis toekent; d.w.z. het geeft een relatie met de kansen voor de waarden die de willekeurige variabele kan aannemen. De kansverdelingsfunctie is gedefinieerd voor discrete willekeurige variabelen.
De kansdichtheidsfunctie is het equivalent van de kansverdelingsfunctie voor de continue willekeurige variabelen, geeft de kans dat een bepaalde willekeurige variabele een bepaalde waarde aanneemt.
Als X een discrete willekeurige variabele is, wordt de functie die wordt gegeven als f (x)=P (X=x) voor elke x binnen het bereik van X de kansverdelingsfunctie genoemd. Een functie kan als kansverdelingsfunctie dienen als en alleen als de functie aan de volgende voorwaarden voldoet.
1. f (x) ≥ 0
2. ∑ f (x)=1
Een functie f (x) die is gedefinieerd over de verzameling reële getallen wordt de kansdichtheidsfunctie van de continue willekeurige variabele X genoemd, als en slechts als, P (a ≤ x ≤ b)=a∫bf (x) dx voor alle reële constanten a en b.
De kansdichtheidsfunctie moet ook aan de volgende voorwaarden voldoen.
1. f (x) ≥ 0 voor alle x: -∞ < x < +∞
2. -∞∫+∞f (x) dx=1
Zowel de kansverdelingsfunctie als de kansdichtheidsfunctie worden gebruikt om de verdeling van kansen over de steekproefruimte weer te geven. Gewoonlijk worden deze kansverdelingen genoemd.
Voor statistische modellering worden standaard kansdichtheidsfuncties en kansverdelingsfuncties afgeleid. De normale verdeling en de standaard normale verdeling zijn voorbeelden van de continue kansverdelingen. Binominale verdeling en Poisson-verdeling zijn voorbeelden van discrete kansverdelingen.
Wat is het verschil tussen kansverdeling en kansdichtheidsfunctie?
• Kansverdelingsfunctie en kansdichtheidsfunctie zijn functies gedefinieerd over de steekproefruimte, om de relevante waarschijnlijkheidswaarde toe te kennen aan elk element.
• Kansverdelingsfuncties zijn gedefinieerd voor de discrete willekeurige variabelen, terwijl kansdichtheidsfuncties zijn gedefinieerd voor de continue willekeurige variabelen.
• Verdeling van kanswaarden (d.w.z. kansverdelingen) worden het best weergegeven door de kansdichtheidsfunctie en de kansverdelingsfunctie.
• De kansverdelingsfunctie kan worden weergegeven als waarden in een tabel, maar dat is niet mogelijk voor de kansdichtheidsfunctie omdat de variabele continu is.
• Wanneer uitgezet, geeft de kansverdelingsfunctie een staafdiagram, terwijl de kansdichtheidsfunctie een curve geeft.
• De hoogte/lengte van de staven van de kansverdelingsfunctie moet optellen tot 1, terwijl het gebied onder de curve van de kansdichtheidsfunctie moet optellen tot 1.
• In beide gevallen moeten alle waarden van de functie niet-negatief zijn.
