Discrete functie versus continue functie
Functies zijn een van de belangrijkste klassen van wiskundige objecten, die op grote schaal worden gebruikt in bijna alle subgebieden van de wiskunde. Zoals hun namen suggereren, zijn zowel discrete functies als continue functies twee speciale soorten functies.
Een functie is een relatie tussen twee sets die op zo'n manier is gedefinieerd dat voor elk element in de eerste set de waarde die ermee overeenkomt in de tweede set uniek is. Laat f een functie zijn gedefinieerd uit de verzameling A in verzameling B. Dan staat voor elke x ϵ A het symbool f (x) voor de unieke waarde in de verzameling B die overeenkomt met x. Het wordt het beeld van x onder f genoemd. Daarom is een relatie f van A naar B een functie, als en slechts als voor, elke xϵ A en y ϵ A; als x=y dan is f (x)=f (y). De verzameling A wordt het domein van de functie f genoemd, en het is de verzameling waarin de functie is gedefinieerd.
Beschouw bijvoorbeeld de relatie f van R naar R gedefinieerd door f (x)=x + 2 voor elke xϵ A. Dit is een functie waarvan het domein R is, want voor elk reëel getal x en y impliceert x=y f (x)=x + 2=y + 2=f (y). Maar de relatie g van N naar N gedefinieerd door g (x)=a, waarbij 'a' een priemfactor van x is, is geen functie aangezien g (6)=3, evenals g (6)=2.
Wat is een discrete functie?
Een discrete functie is een functie waarvan het domein maximaal aftelbaar is. Dit betekent simpelweg dat het mogelijk is om een lijst te maken die alle elementen van het domein bevat.
Elke eindige verzameling is hoogstens aftelbaar. De verzameling natuurlijke getallen en de verzameling rationale getallen zijn voorbeelden van maximaal aftelbare oneindige verzamelingen. De verzameling reële getallen en de verzameling irrationele getallen zijn hoogstens niet aftelbaar. Beide sets zijn ontelbaar. Het betekent dat het onmogelijk is om een lijst te maken die alle elementen van die sets bevat.
Een van de meest voorkomende discrete functies is de faculteitsfunctie. f:N U{0}→N recursief gedefinieerd door f (n)=n f (n-1) voor elke n 1 en f (0)=1 wordt de faculteitsfunctie genoemd. Merk op dat zijn domein N U{0} maximaal telbaar is.
Wat is een continue functie?
Laat f een functie zijn zodat voor elke k in het domein van f, f (x)→ f (k) als x → k. Dan is f een continue functie. Dit betekent dat het mogelijk is om f (x) willekeurig dicht bij f (k) te maken door x voldoende dicht bij k te maken voor elke k in het domein van f.
Beschouw de functie f (x)=x + 2 op R. Je kunt zien dat als x → k, x + 2 → k + 2 f (x)→ f (k) is. Daarom is f een continue functie. Beschouw nu g op positieve reële getallen g (x)=1 als x > 0 en g (x)=0 als x=0. Dan is deze functie geen continue functie aangezien de limiet van g (x) niet bestaat (en dus niet gelijk is aan g (0)) als x → 0.
Wat is het verschil tussen discrete en continue functie?
• Een discrete functie is een functie waarvan het domein hoogstens aftelbaar is, maar dit hoeft niet het geval te zijn in continue functies.
• Alle continue functies ƒ hebben de eigenschap dat ƒ(x)→ƒ(k) als x → k voor elke x en voor elke k in het domein van ƒ, maar dat is niet het geval in sommige discrete functies.
