Afgeleide vs Differentieel
In differentiaalrekening zijn de afgeleide en differentiaal van een functie nauw verwant, maar hebben zeer verschillende betekenissen, en worden gebruikt om twee belangrijke wiskundige objecten weer te geven die verband houden met differentieerbare functies.
Wat is afgeleid?
Afgeleide van een functie meet de snelheid waarmee de functiewaarde verandert als de invoer verandert. In functies met meerdere variabelen hangt de verandering in de functiewaarde af van de richting van de verandering van de waarden van de onafhankelijke variabelen. Daarom wordt in dergelijke gevallen een specifieke richting gekozen en wordt de functie in die specifieke richting gedifferentieerd. Die afgeleide wordt de richtingsafgeleide genoemd. Gedeeltelijke afgeleiden zijn een speciaal soort directionele afgeleiden.
Afgeleide van een functie met vectorwaarde f kan worden gedefinieerd als de limiet [latex]\\frac{df}{d\\boldsymbol{u}}=\\lim_{h \to 0}\\frac {f(\boldsymbol{x}+h \\boldsymbol{u})-f(\boldsymbol{x})}{h}[/latex] waar het ook maar eindig bestaat. Zoals eerder vermeld, geeft dit ons de mate van toename van de functie f langs de richting van de vector u. In het geval van een functie met één waarde, reduceert dit tot de bekende definitie van de afgeleide, [latex]\\frac{df}{dx}=\\lim_{h \\to 0}\\frac{f (x+h)-f(x)}{h}[/latex]
Bijvoorbeeld, [latex]f(x)=x^{3}+4x+5[/latex] is overal differentieerbaar, en de afgeleide is gelijk aan de limiet, [latex]\\lim_{h \\naar 0}\\frac{(x+h)^{3}+4(x+h)+5-(x^{3}+4x+5)}{h}[/latex], dat is gelijk aan [latex]3x^{2}+4[/latex]. De afgeleiden van functies zoals [latex]e^{x}, \\sin x, \\cos x[/latex] bestaan overal. Ze zijn respectievelijk gelijk aan de functies [latex]e^{x}, \\cos x, – \\sin x[/latex].
Dit staat bekend als de eerste afgeleide. Gewoonlijk wordt de eerste afgeleide van functie f aangeduid met f (1) Met deze notatie is het nu mogelijk om afgeleiden van hogere orde te definiëren. [latex]\\frac{d^{2}f}{dx^{2}}=\\lim_{h \\to 0}\\frac{f^{(1)}(x+h)-f ^{(1)}(x)}{h}[/latex] is de afgeleide van de tweede orde, en duidt de n th derivaat aan met f (n) voor elke n, [latex]\\frac{d^{n}f}{dx^{n}}=\\lim_{h \\to 0}\\frac{f^{(n -1)}(x+h)-f^{(n-1)}(x)}{h}[/latex], definieert de n th afgeleide.
Wat is differentieel?
Differentieel van een functie vertegenwoordigt de verandering in de functie met betrekking tot veranderingen in de onafhankelijke variabele of variabelen. In de gebruikelijke notatie wordt voor een gegeven functie f van een enkele variabele x het totale verschil van orde 1 df gegeven door, [latex]df=f^{1}(x)dx[/latex]. Dit betekent dat voor een oneindig kleine verandering in x (d.w.z. d x), er een f (1)(x)d x verandering in f zal zijn.
Door gebruik te maken van limieten kan men als volgt eindigen met deze definitie. Neem aan dat ∆ x de verandering in x is op een willekeurig punt x en ∆ f de corresponderende verandering in de functie f is. Er kan worden aangetoond dat ∆ f=f (1)(x)∆ x + ϵ, waarbij ϵ de fout is. Nu, de limiet ∆ x→ 0∆ f / ∆ x =f (1)(x) (met behulp van de eerder genoemde definitie van afgeleide) en dus, ∆ x→ 0 ϵ/ ∆ x=0. Daarom is het mogelijk om concluderen dat, ∆ x→ 0 ϵ=0. Nu, door ∆ x→ 0 ∆ f aan te duiden als d f en ∆ x→ 0 ∆ x als d x wordt de definitie van het differentieel rigoureus verkregen.
Het differentieel van de functie [latex]f(x)=x^{3}+4x+5[/latex] is bijvoorbeeld [latex](3x^{2}+4)dx[/latex].
In het geval van functies van twee of meer variabelen, wordt het totale verschil van een functie gedefinieerd als de som van de verschillen in de richtingen van elk van de onafhankelijke variabelen. Wiskundig kan het worden uitgedrukt als [latex]df=\\sum_{i=1}^{n} \frac{\partial f}{\partial x_{i}}dx_{i}[/latex].
Wat is het verschil tussen afgeleide en differentiële?
• Afgeleide verwijst naar een veranderingssnelheid van een functie, terwijl het verschil verwijst naar de daadwerkelijke verandering van de functie, wanneer de onafhankelijke variabele aan verandering onderhevig is.
• De afgeleide wordt gegeven door [latex]\\frac{df}{dx}=\\lim_{h \to 0}\\frac{f(x+h)-f(x)}{ h}[/latex], maar het verschil wordt gegeven door [latex]df=f^{1}(x)dx[/latex].
