Transitieve eigenschap versus substitutie-eigenschap
De substitutie-eigenschap wordt gebruikt voor waarden of variabelen die getallen vertegenwoordigen. De substitutie-eigenschap van gelijkheid stelt dat voor alle getallen a en b, als a=b, a kan worden vervangen door b. Daarom, als a=b, dan kunnen we elke 'a' veranderen in een 'b' of elke 'b' in een 'a'.
Als er bijvoorbeeld wordt gegeven dat x=6, dan kunnen we de uitdrukking (x+4)/5 oplossen door de waarde van x te vervangen. Door 5 te vervangen door x in de bovenstaande uitdrukking; (6+4)/5=2. In wezen kunnen twee waarden door elkaar worden vervangen, als en alleen als ze gelijk zijn aan elkaar.
Er is een substitutie-eigenschap gedefinieerd in geometrie. Volgens deze substitutie-eigenschapsdefinitie, als twee geometrische objecten (het kunnen twee hoeken, segmenten, driehoeken of wat dan ook zijn) congruent zijn, dan kunnen deze twee geometrische objecten door elkaar worden vervangen in een statement waarbij een van hen betrokken is.
Transitieve eigenschap is een meer formele definitie, die is gedefinieerd op binaire relaties. Een relatie R van de verzameling A naar de verzameling B is een verzameling geordende paren, als A en B gelijk zijn, zeggen we dat de relatie een binaire relatie is op A. De transitieve eigenschap is één van de eigenschappen (Reflexief, Symmetrisch, Transitief) gebruikt om equivalentierelaties te definiëren.
Een relatie R is transitief, als en slechts als, x is gerelateerd door R aan y, en y is gerelateerd aan R aan z, dan is x gerelateerd aan R aan z. Symbolisch kan een transitieve eigenschap als volgt worden gedefinieerd. Laat a, b en c behorend tot een verzameling A, een binaire relatie '~' heeft de transitieve eigenschap gedefinieerd door, Als a ~ b en b ~ c, dan impliceert dat a ~ c.
Bijvoorbeeld, "groter zijn dan" is een transitieve relatie. Als a, b en c reële getallen zijn zodat a groter is dan b en b groter is dan c, dan is het een logisch gevolg dat a groter is dan c. "Groter zijn" is ook een transitieve relatie. Als Kate groter is dan Mary en Mary groter is dan Jenney, betekent dit dat Kate groter is dan Jenney.
We kunnen geen transitieve relatiecriteria toepassen op alle binaire relaties. Als Bill bijvoorbeeld de vader van John is en John de vader van Fred, betekent dat niet dat Bill de vader van Fred is. Evenzo is "vind-ik-leuks" een niet-transitieve eigenschap. Als Wilson Henry leuk vindt en Henry David leuk vindt, betekent dat niet dat Wilson van David houdt. Het is dus geen transitieve relatie.
In geometrie wordt transitieve eigenschap (voor drie segmenten of hoeken) als volgt gedefinieerd:
Als twee segmenten (of hoeken) elk congruent zijn met een derde segment (of hoek), dan zijn ze congruent met elkaar.
De transitieve eigenschap van gelijkheid wordt als volgt gedefinieerd. Laat a, b en c drie willekeurige elementen in verzameling A zijn, zodanig dat a=b en b=c, dan a=c. Dit lijkt op een substitutie-eigenschap, die kan worden beschouwd als vervanging van b door c in de vergelijking a=b. Deze twee eigenschappen zijn echter niet hetzelfde.
