Afhankelijk versus onafhankelijke evenementen
In ons dagelijks leven komen we gebeurtenissen tegen met onzekerheid. Bijvoorbeeld een kans op het winnen van een loterij die je koopt of een kans op de baan waarop je hebt gesolliciteerd. Fundamentele kansrekening wordt gebruikt om de kans dat iets gebeurt wiskundig te bepalen. Waarschijnlijkheid wordt altijd geassocieerd met willekeurige experimenten. Een experiment met meerdere mogelijke uitkomsten wordt een willekeurig experiment genoemd, als de uitkomst van een enkele proef niet van tevoren kan worden voorspeld. Afhankelijke en onafhankelijke gebeurtenissen zijn termen die in de kansrekening worden gebruikt.
Er wordt gezegd dat een gebeurtenis B onafhankelijk is van een gebeurtenis A, als de kans dat B zich voordoet niet wordt beïnvloed door het feit of A zich heeft voorgedaan of niet. Twee gebeurtenissen zijn eenvoudigweg onafhankelijk als de uitkomst van de ene geen invloed heeft op de waarschijnlijkheid van het optreden van de andere gebeurtenis. Met andere woorden, B is onafhankelijk van A, als P(B)=P(B|A). Evenzo is A onafhankelijk van B, als P(A)=P(A|B). Hier geeft P(A|B) de voorwaardelijke kans A aan, ervan uitgaande dat B is gebeurd. Als we overwegen om met twee dobbelstenen te gooien, heeft een getal dat in de ene dobbelsteen verschijnt geen effect op wat er in de andere dobbelsteen is gevallen.
Voor twee willekeurige gebeurtenissen A en B in een voorbeeldruimte S; de voorwaardelijke kans op A, gegeven dat B is opgetreden, is P(A|B)=P(A∩B)/P(B). Dus als gebeurtenis A onafhankelijk is van gebeurtenis B, dan impliceert P(A)=P(A|B) dat P(A∩B)=P(A) x P(B). Evenzo, als P(B)=P(B|A), dan geldt P(A∩B)=P(A) x P(B). We kunnen dus concluderen dat de twee gebeurtenissen A en B onafhankelijk zijn, als en slechts dan als voorwaarde P(A∩B)=P(A) x P(B) geldt.
Laten we aannemen dat we een dobbelsteen gooien en tegelijkertijd een munt opgooien. Dan is de verzameling van alle mogelijke uitkomsten of de steekproefruimte S={(1, H), (2, H), (3, H), (4, H), (5, H), (6, H), (1, T), (2, T), (3, T), (4, T), (5, T), (6, T) }. Laat gebeurtenis A de gebeurtenis zijn die kop krijgt, dan is de kans op gebeurtenis A, P(A) 6/12 of 1/2, en laat B de gebeurtenis zijn dat er een veelvoud van drie op de dobbelsteen ligt. Dan P(B)=4/12=1/3. Elk van deze twee gebeurtenissen heeft geen invloed op het optreden van de andere gebeurtenis. Deze twee gebeurtenissen staan dus los van elkaar. Aangezien de set (A∩B)={(3, H), (6, H)}, is de kans dat een gebeurtenis kop en veelvoud van drie krijgt bij de dobbelsteen, dat wil zeggen P(A∩B) 2/12 of 1/6. De vermenigvuldiging, P (A) x P (B) is ook gelijk aan 1/6. Aangezien de twee gebeurtenissen A en B de voorwaarde bevatten, kunnen we zeggen dat A en B onafhankelijke gebeurtenissen zijn.
Als de uitkomst van een gebeurtenis wordt beïnvloed door de uitkomst van de andere gebeurtenis, wordt gezegd dat de gebeurtenis afhankelijk is.
Stel dat we een zak hebben met 3 rode ballen, 2 witte ballen en 2 groene ballen. De kans om willekeurig een witte bal te trekken is 2/7. Wat is de kans dat je een groene bal trekt? Is het 2/7?
Als we de tweede bal hadden getrokken na het terugplaatsen van de eerste bal, is deze kans 2/7. Als we echter de eerste bal die we eruit hebben gehaald niet terugleggen, dan hebben we maar zes ballen in de zak, dus de kans dat we een groene bal trekken is nu 2/6 of 1/3. Daarom is de tweede gebeurtenis afhankelijk, aangezien de eerste gebeurtenis een effect heeft op de tweede gebeurtenis.
Wat is het verschil tussen een afhankelijke gebeurtenis en een onafhankelijke gebeurtenis?
