Parallelogram versus vierhoek
Vierhoeken en parallellogrammen zijn veelhoeken die worden gevonden in de Euclidische meetkunde. Parallellogram is een speciaal geval van de vierhoek. Vierhoeken kunnen vlak (2D) of 3 dimensionaal zijn, terwijl parallellogrammen altijd vlak zijn.
Vierhoek
Vierhoek is een veelhoek met vier zijden. Het heeft vier hoekpunten en de som van de interne hoeken is 3600 (2π rad). Vierhoeken worden ingedeeld in zichzelf snijdende en eenvoudige vierhoeken. De zichzelf snijdende vierhoeken hebben twee of meer zijden die elkaar kruisen, en kleinere geometrische figuren (zoals driehoeken worden gevormd binnen de vierhoek).
De eenvoudige vierhoeken zijn ook verdeeld in convexe en concave vierhoeken. Concave vierhoeken hebben aangrenzende zijden die reflexhoeken vormen binnen de figuur. De eenvoudige vierhoeken die intern geen reflexhoeken hebben, zijn convexe vierhoeken. De convexe vierhoeken kunnen altijd mozaïekpatroon hebben.
Een groot deel van de geometrie van vierhoeken op de beginniveaus betreft de convexe vierhoeken. Sommige vierhoeken zijn ons heel bekend uit de tijd van de lagere scholen. Hieronder volgt een diagram met verschillende convexe vierhoeken.
Parallelogram
Parallelogram kan worden gedefinieerd als de geometrische figuur met vier zijden, met tegenoverliggende zijden evenwijdig aan elkaar. Meer precies is het een vierhoek met twee paar evenwijdige zijden. Deze parallelle aard geeft veel geometrische kenmerken aan de parallellogrammen.
Een vierhoek is een parallellogram als de volgende geometrische kenmerken worden gevonden.
• Twee paar tegenover elkaar liggende zijden zijn even lang. (AB=DC, AD=BC)
• Twee paar tegenovergestelde hoeken zijn even groot. ([latex]D\hoed{A}B=B\hoed{C}D, A\hoed{D}C=A\hoed{B}C[/latex])
• Als de aangrenzende hoeken supplementair zijn [latex]D\hat{A}B + A\hat{D}C=A\hat{D}C + B\hat{C}D=B\hat {C}D + A\hat{B}C=A\hat{B}C + D\hat{A}B=180^{circ}=\pi rad[/latex]
• Een paar zijden, die tegenover elkaar liggen, zijn evenwijdig en even lang. (AB=DC & AB∥DC)
• De diagonalen halveren elkaar (AO=OC, BO=OD)
• Elke diagonaal verdeelt de vierhoek in twee congruente driehoeken. (∆ADB ≡ ∆BCD, ∆ABC ≡ ∆ADC)
Verder is de som van de kwadraten van de zijden gelijk aan de som van de kwadraten van diagonalen. Dit wordt soms de parallellogramwet genoemd en heeft wijdverbreide toepassingen in de natuurkunde en techniek. (AB2 + BC2 + CD2 + DA2=AC2 + BD2)
Elk van de bovenstaande kenmerken kan als eigenschappen worden gebruikt, zodra is vastgesteld dat de vierhoek een parallellogram is.
De oppervlakte van het parallellogram kan worden berekend door het product van de lengte van de ene zijde en de hoogte naar de andere zijde. Daarom kan het gebied van het parallellogram worden vermeld als
Gebied van parallellogram=basis × hoogte=AB×h
Het gebied van het parallellogram is onafhankelijk van de vorm van het individuele parallellogram. Het is alleen afhankelijk van de lengte van de basis en de loodrechte hoogte.
Als de zijden van een parallellogram kunnen worden weergegeven door twee vectoren, kan het gebied worden verkregen door de grootte van het vectorproduct (uitwendig product) van de twee aangrenzende vectoren.
Als zijden AB en AD worden weergegeven door respectievelijk de vectoren ([latex]\overrightarrow{AB}[/latex]) en ([latex]\overrightarrow{AD}[/latex]), dan is de oppervlakte van de parallellogram wordt gegeven door [latex]\left | \overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{AD} right |=AB\cdot AD \sin \alpha [/latex], waarbij α de hoek is tussen [latex]\overrightarrow{AB}[/latex] en [latex]\overrightarrow{AD}[/latex].
Hier volgen enkele geavanceerde eigenschappen van het parallellogram;
• De oppervlakte van een parallellogram is tweemaal zo groot als de oppervlakte van een driehoek gecreëerd door een van zijn diagonalen.
• Het gebied van het parallellogram wordt in tweeën gedeeld door een lijn die door het middelpunt gaat.
• Elke niet-gedegenereerde affiene transformatie brengt een parallellogram naar een ander parallellogram
• Een parallellogram heeft rotatiesymmetrie van orde 2
• De som van de afstanden van elk binnenpunt van een parallellogram tot de zijkanten is onafhankelijk van de locatie van het punt
Wat is het verschil tussen parallellogram en vierhoek?
• Vierhoeken zijn veelhoeken met vier zijden (soms tetragonen genoemd), terwijl parallellogram een speciaal type vierhoek is.
• Vierhoeken kunnen hun zijden in verschillende vlakken hebben (in 3D-ruimte) terwijl alle zijden van het parallellogram op hetzelfde vlak liggen (vlak/2dimensionaal).
• Binnenhoeken van de vierhoek kunnen elke waarde aannemen (inclusief reflexhoeken) zodat ze optellen tot 3600. Parallelogrammen kunnen alleen stompe hoeken hebben als het maximale type hoek.
• Vier zijden van de vierhoek kunnen verschillende lengtes hebben, terwijl de overstaande zijden van het parallellogram altijd evenwijdig aan elkaar en gelijk in lengte zijn.
• Elke diagonaal verdeelt het parallellogram in twee congruente driehoeken, terwijl de driehoeken gevormd door de diagonaal van een algemene vierhoek niet noodzakelijk congruent zijn.
