Fourier-serie versus Fourier-transformatie
Fourier-reeks ontbindt een periodieke functie in een som van sinussen en cosinussen met verschillende frequenties en amplitudes. Fourier-serie is een tak van Fourier-analyse en werd geïntroduceerd door Joseph Fourier. Fourier-transformatie is een wiskundige bewerking die een signaal breekt in zijn samenstellende frequenties. Het oorspronkelijke signaal dat in de loop van de tijd veranderde, wordt de tijdsdomeinrepresentatie van het signaal genoemd. De Fourier-transformatie wordt de frequentiedomeinrepresentatie van een signaal genoemd, omdat deze afhangt van de frequentie. Zowel de representatie van het frequentiedomein van een signaal als het proces dat wordt gebruikt om dat signaal naar het frequentiedomein te transformeren, wordt de Fourier-transformatie genoemd.
Wat is Fourier-serie?
Zoals eerder vermeld, is Fourierreeks een uitbreiding van een periodieke functie met een oneindige som van sinussen en cosinuslijnen. Fourier-reeksen werden aanvankelijk ontwikkeld bij het oplossen van warmtevergelijkingen, maar later werd ontdekt dat dezelfde techniek kan worden gebruikt om een groot aantal wiskundige problemen op te lossen, met name de problemen die betrekking hebben op lineaire differentiaalvergelijkingen met constante coëfficiënten. Nu heeft de Fourier-serie toepassingen op een groot aantal gebieden, waaronder elektrotechniek, trillingsanalyse, akoestiek, optica, signaalverwerking, beeldverwerking, kwantummechanica en econometrie. Fourierreeksen gebruiken de orthogonaliteitsrelaties van sinus- en cosinusfuncties. De berekening en de studie van Fourier-reeksen staat bekend als de harmonische analyse en is erg handig bij het werken met willekeurige periodieke functies, omdat het het mogelijk maakt om de functie op te splitsen in eenvoudige termen die kunnen worden gebruikt om een oplossing voor het oorspronkelijke probleem te verkrijgen.
Wat is Fourier-transformatie?
Fourier-transformatie definieert een relatie tussen een signaal in het tijdsdomein en zijn representatie in het frequentiedomein. De Fourier-transformatie ontleedt een functie in oscillerende functies. Aangezien dit een transformatie is, kan het oorspronkelijke signaal worden verkregen door de transformatie te kennen, dus er wordt geen informatie gecreëerd of verloren tijdens het proces. Studie van Fourier-reeksen geeft eigenlijk motivatie voor de Fourier-transformatie. Vanwege de eigenschappen van sinussen en cosinussen is het mogelijk om de hoeveelheid van elke golfbijdrage aan de som te recupereren met behulp van een integraal. Fourier-transformatie heeft enkele basiseigenschappen zoals lineariteit, translatie, modulatie, schaling, conjugatie, dualiteit en convolutie. Fourier-transformatie wordt toegepast bij het oplossen van differentiaalvergelijkingen, aangezien de Fourier-transformatie nauw verwant is aan Laplace-transformatie. Fourier-transformatie wordt ook gebruikt in nucleaire magnetische resonantie (NMR) en in andere soorten spectroscopie.
Verschil tussen Fourier-reeks en Fourier-transformatie
Fourier-reeks is een uitbreiding van periodiek signaal als een lineaire combinatie van sinussen en cosinussen, terwijl Fourier-transformatie het proces of de functie is die wordt gebruikt om signalen van het tijdsdomein naar het frequentiedomein om te zetten. Fourier-reeksen zijn gedefinieerd voor periodieke signalen en de Fourier-transformatie kan worden toegepast op aperiodieke (voorkomende zonder periodiciteit) signalen. Zoals hierboven vermeld, levert de studie van Fourier-reeksen eigenlijk de motivatie voor de Fourier-transformatie.
