Laplace vs Fourier-transformaties
Zowel Laplace-transformatie als Fourier-transformatie zijn integrale transformaties, die meestal worden gebruikt als wiskundige methoden om wiskundig gemodelleerde fysieke systemen op te lossen. Het proces is eenvoudig. Een complex wiskundig model wordt omgezet in een eenvoudiger, oplosbaar model met behulp van een integrale transformatie. Zodra het eenvoudigere model is opgelost, wordt de inverse integrale transformatie toegepast, die de oplossing voor het oorspronkelijke model zou bieden.
Bijvoorbeeld, aangezien de meeste fysische systemen resulteren in differentiaalvergelijkingen, kunnen ze worden omgezet in algebraïsche vergelijkingen of in mindere mate gemakkelijk oplosbare differentiaalvergelijkingen met behulp van een integrale transformatie. Dan wordt het oplossen van het probleem gemakkelijker.
Wat is de Laplace-transformatie?
Gegeven een functie f (t) van een reële variabele t, wordt zijn Laplace-transformatie gedefinieerd door de integraal [latex] F(s)=\\int_{0}^{ \\infty} e^{- st}f(t)dt [/latex] (wanneer het bestaat), wat een functie is van een complexe variabele s. Het wordt meestal aangeduid met L { f (t)}. De inverse Laplace-transformatie van een functie F (s) wordt genomen als de functie f (t) op zo'n manier dat L { f (t)}=F (s), en in de gebruikelijke wiskundige notatie die we schrijven, L-1{ F (s)}=f (t). De inverse transformatie kan uniek worden gemaakt als null-functies niet zijn toegestaan. Men kan deze twee identificeren als lineaire operatoren gedefinieerd in de functieruimte, en het is ook gemakkelijk in te zien dat, L -1{ L { f (t)}}=f (t), als null-functies niet zijn toegestaan.
De volgende tabel geeft een overzicht van de Laplace-transformaties van enkele van de meest voorkomende functies.
Wat is de Fourier-transformatie?
Gegeven een functie f (t) van een reële variabele t, wordt zijn Laplace-transformatie gedefinieerd door de integraal [latex] F(\alpha)=\\frac{1}{\sqrt{2 \\ pi}} \int_{- \\infty}^{\infty} e^{i \\alpha t}f(t)dt [/latex] (wanneer het bestaat), en wordt meestal aangeduid met F { f (t)}. De inverse transformatie F -1{ F (α)} wordt gegeven door de integraal [latex] f(t)=\\frac{1}{\sqrt{2 \\pi }}\\int_{- \\infty}^{\infty} e^{-i \\alpha t}F(\alpha)d\\alpha [/latex]. Fourier-transformatie is ook lineair en kan worden gezien als een operator die is gedefinieerd in de functieruimte.
Met behulp van de Fourier-transformatie kan de oorspronkelijke functie als volgt worden geschreven, op voorwaarde dat de functie slechts een eindig aantal discontinuïteiten heeft en absoluut integreerbaar is.
Wat is het verschil tussen de Laplace- en de Fourier-transformatie?
- Fourier-transformatie van een functie f (t) is gedefinieerd als [latex] F(\alpha)=\\frac{1}{\sqrt{2 \\pi}} \int_{- / \infty}^{\infty} e^{i \\alpha t}f(t)dt [/latex], terwijl de laplace-transformatie ervan is gedefinieerd als [latex] F(s)=\\int_{ 0}^{ \\infty} e^{-st}f(t)dt [/latex].
- Fourier-transformatie wordt alleen gedefinieerd voor functies die zijn gedefinieerd voor alle reële getallen, terwijl Laplace-transformatie niet vereist dat de functie wordt gedefinieerd op de set van de negatieve reële getallen.
- Fourier-transformatie is een speciaal geval van de Laplace-transformatie. Het is te zien dat beide samenvallen voor niet-negatieve reële getallen. (d.w.z. neem s in de Laplace om iα + β te zijn waarbij α en β reëel zijn zodat e β=1/ √(2ᴫ))
- Elke functie die een Fourier-transformatie heeft, heeft een Laplace-transformatie, maar niet omgekeerd.
