Echte getallen versus denkbeeldige getallen
Getallen zijn wiskundige objecten die worden gebruikt om te tellen en te meten. De definitie ervan is in de loop der jaren veranderd met de toevoeging van nul, negatieve getallen, rationale getallen, irrationele getallen en denkbeeldige getallen. Hoewel de abstracte basis van getalsystemen betrekking heeft op algebraïsche structuren zoals groepen, ringen en velden, wordt hier slechts een intuïtief idee gepresenteerd.
Wat is een echt getal?
Informeel gezien is een reëel getal een getal waarvan het kwadraat niet-negatief is. In wiskundige notatie duiden we de verzameling reële getallen aan met het symbool R. Daarom voor alle x, als x ϵ R dan x 2 ≥ 0. Op een meer rigoureuze manier, kan de verzameling reële getallen worden geïntroduceerd als het unieke, complete totaal geordende veld met de binaire bewerking + en. samen met de orderelatie <. Deze orderelatie volgt de trichotomiewet, die stelt dat gegeven twee reële getallen x en y, één en slechts één van deze 3 geldt; x > y, x < y of x=y.
Een reëel getal kan algebraïsch of transcendentaal zijn, afhankelijk van of het een wortel is van een veeltermvergelijking met gehele coëfficiënten of niet. Ook kan een reëel getal rationaal of irrationeel zijn, afhankelijk van of het kan worden uitgedrukt als een verhouding van twee gehele getallen of niet. 2,5 is bijvoorbeeld een reëel getal, dat algebraïsch en rationeel is, maar ᴫ is zowel irrationeel als transcendentaal.
De verzameling reële getallen is compleet. Het betekent dat voor elke niet-lege deelverzameling van reële getallen die hierboven wordt begrensd, een minste bovengrens heeft, en hieruit kan worden afgeleid dat voor elke niet-lege deelverzameling van reële getallen die hieronder wordt begrensd, de grootste ondergrens heeft. Dit onderscheidt de verzameling reële getallen van de verzameling rationale getallen. Men kan stellen dat de verzameling reële getallen is opgebouwd door de gaten in de reeks onvolledige rationale getallen op te vullen, waarbij de gaten irrationele getallen zijn.
Wat is een denkbeeldig getal?
Een denkbeeldig getal is een getal waarvan het kwadraat negatief is. Met andere woorden, getallen als √(-1), √(-100) en √(- e) zijn denkbeeldige getallen. Alle denkbeeldige getallen kunnen worden geschreven in de vorm a i waarbij i de 'denkbeeldige eenheid' √(-1) is en a een niet-nul reëel getal is. (Merk op dat i2=-1). Hoewel deze cijfers niet echt lijken en zoals de naam al doet vermoeden niet bestaan, worden ze gebruikt in veel essentiële toepassingen in de echte wereld, op gebieden als luchtvaart, elektronica en techniek.
Wat is het verschil tussen reële getallen en denkbeeldige getallen?• Het kwadraat van een reëel getal is niet-negatief, maar het kwadraat van een denkbeeldig getal is negatief. • Set van reële getallen vormt een compleet, totaal geordend veld, terwijl de set van denkbeeldige getallen niet compleet of geordend is. |
