Verschil tussen binomiale en normale verdeling

2024 Auteur: Alex Aldridge | [email protected]. Laatst gewijzigd: 2023-12-17 13:46

Binomiale versus normale verdeling

Kansverdelingen van willekeurige variabelen spelen een belangrijke rol op het gebied van statistiek. Van die kansverdelingen zijn de binominale verdeling en de normale verdeling twee van de meest voorkomende in het echte leven.

Wat is binomiale verdeling?

Binomiale verdeling is de kansverdeling die overeenkomt met de willekeurige variabele X, die het aantal successen is van een eindige reeks onafhankelijke ja/nee-experimenten die elk een kans op succes p hebben. Uit de definitie van X blijkt dat het een discrete willekeurige variabele is; daarom is de binominale verdeling ook discreet.

De verdeling wordt aangegeven als X ~ B (n, p) waarbij n het aantal experimenten is en p de kans op succes. Volgens de kansrekening kunnen we afleiden dat B (n, p) de kansmassafunctie [latex] B(n, p)\\sim \\binom{n}{k} p^{k} (1-p)^{(n-k)}, k=0, 1, 2, …n [/latex]. Uit deze vergelijking kan verder worden afgeleid dat de verwachte waarde van X, E(X)=np en de variantie van X, V(X)=np (1- p).

Beschouw bijvoorbeeld een willekeurig experiment van 3 keer een munt opgooien. Definieer succes als het verkrijgen van H, falen als het verkrijgen van T en de willekeurige variabele X als het aantal successen in het experiment. Dan X ~ B (3, 0,5) en de kans-massafunctie van X gegeven door [latex] \binom{3}{k} 0.5^{k} (0,5)^{(3-k)}, k=0, 1, 2.[/latex]. Daarom is de kans op het verkrijgen van ten minste 2 H's P(X ≥ 2)=P (X=2 of X=3)=P (X=2) + P (X=3)=³ C₂(0.5²)(0.5¹) + ³ C₃(0.5³)(0.5^{0)=0,375 + 0,125=0,5.}

Wat is een normale verdeling?

Normale verdeling is de continue kansverdeling gedefinieerd door de kansdichtheidsfunctie, [latex] N(\mu, \\sigma)\\sim\\frac{1}{\sqrt{2 \\pi \\sigma^{2}}} / e^{- \\frac{(x-\\mu)^{2}}{2 \\sigma^{2}}} [/latex]. De parameters [latex] \mu en \\sigma [/latex] geven het gemiddelde en de standaarddeviatie van de populatie van interesse aan. Als [latex] \mu=0 en \\sigma=1 [/latex] wordt de verdeling de standaard normale verdeling genoemd.

Deze verdeling wordt normaal genoemd omdat de meeste natuurlijke verschijnselen de normale verdeling volgen. Het IQ van de menselijke populatie is bijvoorbeeld normaal verdeeld. Zoals blijkt uit de grafiek is het unimodaal, symmetrisch rond het gemiddelde en klokvormig. Het gemiddelde, de modus en de mediaan vallen samen. Het gebied onder de curve komt overeen met het deel van de populatie dat aan een bepaalde voorwaarde voldoet.

De bevolkingsaandelen in het interval [latex] (\mu – \\sigma, \\mu + \\sigma) [/latex], [latex] (\mu – 2 \\sigma, \\mu + 2 \\sigma) [/latex], [latex] (\mu – 3 \\sigma, \\mu + 3 \\sigma) [/latex] zijn ongeveer 68,2%, 95,6% en 99,8% respectievelijk.

Wat is het verschil tussen binomiale en normale verdelingen?

• Binomiale verdeling is een discrete kansverdeling, terwijl de normale verdeling een continue verdeling is.
• De kans-massafunctie van de binomiale verdeling is [latex]B(n, p)\\sim \\binom{n}{k} p^{k} (1-p)^{(n-k) } [/latex], terwijl de kansdichtheidsfunctie van de normale verdeling [latex] N(\mu, \\sigma)\\sim\\frac{1}{\sqrt{2 \\pi \\sigma is ^{2}}} / e^{- \\frac{(x-\\mu)^{2}}{2 \\sigma^{2}}} [/latex]
• De binominale verdeling wordt onder bepaalde omstandigheden benaderd met de normale verdeling, maar niet andersom.