Verschil tussen integratie en sommatie

2024 Auteur: Alex Aldridge | [email protected]. Laatst gewijzigd: 2023-12-17 13:46

Integratie vs Sommatie

In wiskunde boven de middelbare school worden integratie en sommatie vaak gevonden in wiskundige bewerkingen. Ze worden schijnbaar gebruikt als verschillende instrumenten en in verschillende situaties, maar ze delen een zeer nauwe relatie.

Meer over Sommatie

Optellen is de bewerking van het optellen van een reeks getallen en de bewerking wordt vaak aangeduid met de Griekse letter van hoofdsigma Σ. Het wordt gebruikt om de sommatie af te korten en is gelijk aan de som/totaal van de reeks. Ze worden vaak gebruikt om de reeks weer te geven, die in wezen oneindige reeksen zijn samengevat. Ze kunnen ook worden gebruikt om de som van vectoren, matrices of polynomen aan te geven.

De sommatie wordt meestal gedaan voor een reeks waarden die kunnen worden weergegeven door een algemene term, zoals een reeks die een algemene term heeft. Het beginpunt en het eindpunt van de sommatie staan respectievelijk bekend als de ondergrens en de bovengrens van de sommatie.

Bijvoorbeeld de som van de reeks a₁, a₂, a₃, a ₄, …, a_n is a₁ + a₂ + a ₃ + … + a_n die gemakkelijk kan worden weergegeven met de sommatienotatie als ∑ _i=1 a_{i; i heet de index van sommatie.}

Veel variaties worden gebruikt voor de sommatie op basis van de toepassing. In sommige gevallen kunnen de boven- en ondergrens worden gegeven als een interval of een bereik, zoals ∑_1≤i≤100 a_i en ∑_{i∈[1, 100]} a_i Of het kan worden gegeven als een reeks getallen zoals ∑_i∈P a_{i, waarbij P een gedefinieerde verzameling is.}

In sommige gevallen kunnen twee of meer sigmatekens worden gebruikt, maar ze kunnen als volgt worden gegeneraliseerd; ∑_j ∑_k a_jk =∑_{j, k} a _jk.

De sommatie volgt ook veel algebraïsche regels. Aangezien de ingebedde bewerking de optelling is, kunnen veel van de algemene regels van de algebra worden toegepast op de sommen zelf en voor de individuele termen die door de sommatie worden weergegeven.

Meer over integratie

De integratie wordt gedefinieerd als het omgekeerde proces van differentiatie. Maar in zijn geometrische weergave kan het ook worden beschouwd als het gebied dat wordt ingesloten door de curve van de functie en de as. Daarom geeft de berekening van de oppervlakte de waarde van een bepaalde integraal zoals weergegeven in het diagram.

Beeldbron:

De waarde van de bepaalde integraal is eigenlijk de som van de kleine stroken binnen de kromme en de as. Het gebied van elke strook is de hoogte x breedte op het punt op de beschouwde as. Breedte is een waarde die we kunnen kiezen, zeg ∆x. En hoogte is ongeveer de waarde van de functie op het beschouwde punt, zeg f (x_{i). Uit het diagram blijkt duidelijk dat hoe kleiner de stroken, hoe beter de stroken passen binnen het begrensde gebied, dus een betere benadering van de waarde.}

Dus, in het algemeen kan de bepaalde integraal I, tussen de punten a en b (d.w.z. in het interval [a, b] waar a<b), gegeven worden als I ≅ f (x_{1)∆x + f (x}2_{)∆x + ⋯ + f (x}n_{)∆x, waarbij n het aantal stroken is (n=(ba)/∆x). Deze sommatie van het gebied kan gemakkelijk worden weergegeven met behulp van de sommatienotatie als I ≅ ∑}i=1 _{f (x}i)∆x. Omdat de benadering beter is als ∆x kleiner is, kunnen we de waarde berekenen als ∆x→0. Daarom is het redelijk om te zeggen I=lim_∆x→0 ∑ⁱ⁼¹ f (x_i)∆x.

Als een generalisatie van het bovenstaande concept, kunnen we de ∆x kiezen op basis van het beschouwde interval geïndexeerd door i (door de breedte van het gebied te kiezen op basis van de positie). Dan krijgen we

I=lim_∆x→0 ∑_i=1 f (x i_{) ∆x}i₌a_∫b ^{f (x)dx}

Dit staat bekend als de Reimannintegraal van de functie f (x) in het interval [a, b]. In dit geval staan a en b bekend als de boven- en ondergrens van de integraal. Reimann-integraal is een basisvorm van alle integratiemethoden.

In essentie is integratie de optelling van het gebied wanneer de breedte van de rechthoek oneindig klein is.

Wat is het verschil tussen integratie en sommatie?

• Sommatie is het optellen van een reeks getallen. Gewoonlijk wordt de sommatie gegeven in deze vorm ∑_i=1 a_{i wanneer de termen in de reeks hebben een patroon en kunnen worden uitgedrukt met een algemene term.}

• Integratie is in feite het gebied dat wordt begrensd door de curve van de functie, de as en boven- en ondergrenzen. Dit gebied kan worden gegeven als de som van veel kleinere gebieden die zijn opgenomen in het begrensde gebied.

• Sommatie omvat de discrete waarden met de boven- en ondergrenzen, terwijl de integratie continue waarden omvat.

• Integratie kan worden geïnterpreteerd als een speciale vorm van sommatie.

• In numerieke berekeningsmethoden wordt integratie altijd uitgevoerd als een sommatie.