Hyperbola vs Ellipse
Wanneer een kegel onder verschillende hoeken wordt gesneden, worden verschillende rondingen gemarkeerd door de rand van de kegel. Deze krommen worden vaak de kegelsneden genoemd. Preciezer gezegd, een kegelsnede is een kromme die wordt verkregen door een recht cirkelvormig kegelvormig oppervlak te snijden met een plat oppervlak. Bij verschillende snijpunten worden verschillende kegelsneden gegeven.
Zowel hyperbool als ellips zijn kegelsneden en hun verschillen zijn in deze context gemakkelijk te vergelijken.
Meer over Ellipse
Als het snijpunt van het kegelvormige oppervlak en het vlakke oppervlak een gesloten kromme produceert, staat dit bekend als een ellips. Het heeft een excentriciteit tussen nul en één (0<e<1). Het kan ook worden gedefinieerd als de meetkundige plaats van de verzameling punten op een vlak zodat de som van de afstanden tot het punt van twee vaste punten constant blijft. Deze twee vaste punten staan bekend als de ‘foci’. (Denk eraan: in elementaire wiskundelessen worden de ellipsen getekend met een touwtje dat aan twee vaste pinnen is vastgemaakt, of een touwtje en twee pinnen.)
Het lijnsegment dat door de brandpunten gaat, staat bekend als de hoofdas, en de as die loodrecht op de hoofdas staat en door het midden van de ellips gaat, staat bekend als de kleine as. De diameters langs elke as staan bekend als respectievelijk de transversale diameter en de geconjugeerde diameter. De helft van de hoofdas staat bekend als de halve lange as en de helft van de korte as staat bekend als de halve secundaire as.
Elk punt F1 en F2 staan bekend als de brandpunten van de ellips en lengtes F1 + PF2 =2a, waarbij P een willekeurig punt op de ellips is. Excentriciteit e wordt gedefinieerd als de verhouding tussen de afstand van een brandpunt tot het willekeurige punt (PF 2) en de loodrechte afstand tot het willekeurige punt van de richtlijn (PD). Het is ook gelijk aan de afstand tussen de twee brandpunten en de halve lange as: e=PF/PD=f/a
De algemene vergelijking van de ellips, wanneer de halve lange as en de halve korte as samenvallen met de cartesiaanse assen, wordt als volgt gegeven.
x2/a2 + y2/b2=1
De geometrie van de ellips heeft veel toepassingen, vooral in de natuurkunde. De banen van de planeten in het zonnestelsel zijn elliptisch met de zon als één brandpunt. De reflectoren voor antennes en akoestische apparaten zijn gemaakt in elliptische vorm om te profiteren van het feit dat elke emissie van een focus zal convergeren naar het andere focus.
Meer over Hyperbool
De hyperbool is ook een kegelsnede, maar heeft een open einde. De term hyperbool verwijst naar de twee losgekoppelde curven die in de figuur worden getoond. In plaats van zich als een ellips te sluiten, gaan de armen of de takken van de hyperbool door tot in het oneindige.
De punten waar de twee takken de kortste afstand tussen hen hebben, staan bekend als de hoekpunten. De lijn die door de hoekpunten gaat, wordt beschouwd als de hoofdas of de dwarsas, en het is een van de hoofdassen van de hyperbool. De twee brandpunten van de parabool liggen ook op de hoofdas. Het middelpunt van de lijn tussen de twee hoekpunten is het midden en de lengte van het lijnsegment is de halve lange as. De middelloodlijn van de halve lange as is de andere hoofdas en de twee krommen van de hyperbool zijn symmetrisch rond deze as. De excentriciteit van de parabool is groter dan één; e> 1.
Als de hoofdassen samenvallen met de Cartesiaanse assen, heeft de algemene vergelijking van de hyperbool de vorm:
x2/a2 – y2/b2=1,
waarbij a de halve lange as is en b de afstand van het middelpunt tot beide focuspunten.
De hyperbolen met open uiteinden tegenover de x-as staan bekend als de oost-west hyperbolen. Soortgelijke hyperbolen kunnen ook op de y-as worden verkregen. Deze staan bekend als de y-as hyperbolen. De vergelijking voor dergelijke hyperbolen heeft de vorm
y2/a2 – x2/b2=1
Wat is het verschil tussen Hyperbool en Ellips?
• Zowel ellipsen als hyperbool zijn kegelsneden, maar de ellips is een gesloten kromme terwijl de hyperbool uit twee open krommen bestaat.
• Daarom heeft de ellips een eindige omtrek, maar de hyperbool heeft een oneindige lengte.
• Beide zijn symmetrisch rond hun grote en kleine as, maar de positie van de richtlijn is in elk geval anders. In de ellips ligt het buiten de halve lange as, terwijl het in hyperbool in de halve lange as ligt.
• De excentriciteiten van de twee kegelsneden zijn verschillend.
0 <eEllips < 1
eHyperbola > 0
• De algemene vergelijking van de twee krommen ziet er hetzelfde uit, maar ze zijn verschillend.
• De middelloodlijn van de hoofdas snijdt de kromme in de ellips, maar niet in de hyperbool.
(Bron afbeelding: Wikipedia)
