Belangrijk verschil - Postulaat versus stelling
Postulaten en stellingen zijn twee veelvoorkomende termen die vaak in de wiskunde worden gebruikt. Een postulaat is een bewering waarvan wordt aangenomen dat deze waar is, zonder bewijs. Een stelling is een bewering waarvan bewezen kan worden dat deze waar is. Dit is het belangrijkste verschil tussen postulaat en stelling. Stellingen zijn vaak gebaseerd op postulaten.
Wat is een postulaat?
Een postulaat is een bewering waarvan wordt aangenomen dat deze waar is zonder enig bewijs. Postulaat wordt door het Oxford-woordenboek gedefinieerd als "ding dat wordt gesuggereerd of aangenomen als waar als basis voor redenering, discussie of geloof" en door het American Heritage-woordenboek als "iets dat zonder bewijs wordt aangenomen als vanzelfsprekend of algemeen aanvaard, vooral wanneer het wordt gebruikt als basis voor een argument”.
Postulaten zijn ook bekend als axioma's. Postulaten hoeven niet bewezen te worden omdat ze zichtbaar correct zijn. De bewering dat twee punten een lijn vormen, is bijvoorbeeld een postulaat. Postulaten zijn de basis van waaruit stellingen en lemma's worden gemaakt. Een stelling kan worden afgeleid uit een of meer postulaten.
Hieronder vindt u enkele basiskenmerken die alle postulaten hebben:
- Postulaten moeten gemakkelijk te begrijpen zijn - ze mogen niet veel woorden bevatten die moeilijk te begrijpen zijn.
- Ze moeten consistent zijn in combinatie met andere postulaten.
- Ze moeten onafhankelijk kunnen worden gebruikt.
Sommige postulaten - zoals Einsteins postulaat dat het universum homogeen is - zijn echter niet altijd correct. Een postulaat kan duidelijk onjuist worden na een nieuwe ontdekking.
Als de som van de binnenhoeken α en β kleiner is dan 180°, ontmoeten de twee rechte lijnen, oneindig geproduceerd, elkaar aan die kant.
Wat is een stelling?
Een stelling is een bewering die als waar kan worden bewezen. Het Oxford-woordenboek definieert de stelling als een algemene stelling die niet vanzelfsprekend is, maar wordt bewezen door een reeks redeneringen; een waarheid vastgesteld door middel van geaccepteerde waarheden” en Merriam-Webster definieert het als “een formule, propositie of uitspraak in wiskunde of logica afgeleid of af te leiden uit andere formules of proposities”.
Stellingen kunnen worden bewezen door logisch redeneren of door andere stellingen te gebruiken waarvan al is bewezen dat ze waar zijn. Een stelling die moet worden bewezen om een andere stelling te bewijzen, wordt een lemma genoemd. Zowel lemma's als stellingen zijn gebaseerd op postulaten. Een stelling bestaat meestal uit twee delen die bekend staan als hypothese en conclusies. De stelling van Pythagoras, de vierkleurenstelling en de laatste stelling van Fermat zijn enkele voorbeelden van stellingen.
Visualisatie van de stelling van Pythagoras
Wat is het verschil tussen postulaat en stelling?
Definitie:
Postulaat: Postulaat wordt gedefinieerd als "een bewering die als waar wordt aanvaard als basis voor argument of gevolgtrekking."
Stelling: Stelling wordt gedefinieerd als “algemene stelling die niet vanzelfsprekend is, maar wordt bewezen door een reeks redeneringen; een waarheid vastgesteld door middel van geaccepteerde waarheden”.
Bewijs:
Postulaat: Een postulaat is een bewering waarvan wordt aangenomen dat ze waar is zonder enig bewijs.
Stelling: Een stelling is een bewering waarvan kan worden bewezen dat deze waar is.
Relatie:
Postulate: Postulaten zijn de basis voor stellingen en lemma's.
Stelling: Stellingen zijn gebaseerd op postulaten.
Noodzaak om te bewijzen:
Postulate: Postulaten hoeven niet bewezen te worden, omdat ze het voor de hand liggende aangeven.
Stelling: Stellingen kunnen worden bewezen door logisch redeneren of door andere stellingen te gebruiken waarvan is bewezen dat ze waar zijn.
