Integratie vs Differentiatie
Integratie en differentiatie zijn twee fundamentele concepten in de calculus, die de verandering bestudeert. Calculus heeft een breed scala aan toepassingen op vele gebieden, zoals wetenschap, economie of financiën, techniek en etc.
Differentiatie
Differentiatie is de algebraïsche procedure voor het berekenen van de afgeleiden. Afgeleide van een functie is de helling of de helling van de curve (grafiek) op een bepaald punt. Het verloop van een kromme op een bepaald punt is het verloop van de raaklijn die op het gegeven punt aan die kromme wordt getrokken. Voor niet-lineaire curven kan de gradiënt van de curve op verschillende punten langs de as variëren. Daarom is het moeilijk om de helling of de helling op elk punt te berekenen. Het differentiatieproces is nuttig bij het berekenen van de gradiënt van de curve op elk punt.
Een andere definitie voor afgeleide is: "de verandering van een eigenschap ten opzichte van een eenheidsverandering van een andere eigenschap."
Laat f(x) een functie zijn van een onafhankelijke variabele x. Als een kleine verandering (∆x) wordt veroorzaakt in de onafhankelijke variabele x, wordt een overeenkomstige verandering ∆f(x) veroorzaakt in de functie f(x); dan is de verhouding ∆f(x)/∆x een maat voor de veranderingssnelheid van f(x), met betrekking tot x. De grenswaarde van deze verhouding, aangezien ∆x naar nul neigt, wordt lim∆x→0(f(x)/∆x) de eerste afgeleide van de functie f(x) genoemd., met betrekking tot x; met andere woorden, de onmiddellijke verandering van f(x) op een bepaald punt x.
Integratie
Integratie is het proces van het berekenen van een bepaalde integraal of een onbepaalde integraal. Voor een reële functie f(x) en een gesloten interval [a, b] op de reële lijn, de bepaalde integraal, a∫b f(x), wordt gedefinieerd als het gebied tussen de grafiek van de functie, de horizontale as en de twee verticale lijnen op de eindpunten van een interval. Wanneer een specifiek interval niet is gegeven, staat het bekend als onbepaalde integraal. Een bepaalde integraal kan worden berekend met behulp van anti-derivaten.
Wat is het verschil tussen integratie en differentiatie?
Het verschil tussen integratie en differentiatie is vergelijkbaar met het verschil tussen 'kwadraat' en 'de vierkantswortel nemen'. Als we een positief getal kwadrateren en vervolgens de vierkantswortel van het resultaat nemen, is de positieve vierkantswortelwaarde het getal dat je kwadraat hebt. Evenzo, als je de integratie toepast op het resultaat, dat je hebt verkregen door een continue functie f(x) te differentiëren, leidt het terug naar de oorspronkelijke functie en vice versa.
Laat bijvoorbeeld F(x) de integraal zijn van functie f(x)=x, dus F(x)=∫f(x)dx=(x2 /2) + c, waarbij c een willekeurige constante is. Als we F(x) differentiëren met betrekking tot x krijgen we F' (x)=dF(x)/dx=(2x/2) + 0=x, daarom is de afgeleide van F(x) gelijk aan f(x).
Samenvatting
– Differentiatie berekent de helling van een curve, terwijl integratie het gebied onder de curve berekent.
– Integratie is het omgekeerde proces van differentiatie en vice versa.
