Verschil tussen Riemann-integraal en Lebesgue-integraal

2024 Auteur: Alex Aldridge | [email protected]. Laatst gewijzigd: 2023-12-17 13:46

Riemann Integraal vs Lebesgue Integraal

Integratie is een hoofdonderwerp in calculus. In bredere zin kan integratie worden gezien als het omgekeerde proces van differentiatie. Bij het modelleren van problemen uit de echte wereld is het gemakkelijk om uitdrukkingen te schrijven die afgeleiden bevatten. In een dergelijke situatie is de integratiebewerking vereist om de functie te vinden die de specifieke afgeleide opleverde.

Vanuit een andere hoek is integratie een proces dat het product van een functie ƒ(x) en δx optelt, waarbij δx een bepaalde limiet is. Daarom gebruiken we het integratiesymbool als ∫. Het symbool ∫ is in feite wat we verkrijgen door de letter s uit te rekken om naar som te verwijzen.

Riemann Integraal

Beschouw een functie y=ƒ(x). De integraal van y tussen a en b, waarbij a en b tot een verzameling x behoren, wordt geschreven als _b ∫ ^a ƒ(x) dx=[F (x)] _{a → b} =F (b) – F (a). Dit wordt een bepaalde integraal genoemd van de enkelvoudige en continue functie y=ƒ(x) tussen a en b. Dit geeft de oppervlakte onder de curve tussen a en b. Dit wordt ook wel Riemann-integraal genoemd. Riemann-integraal is gemaakt door Bernhard Riemann. De Riemann-integraal van een continue functie is gebaseerd op de Jordan-maat en wordt daarom ook gedefinieerd als de limiet van de Riemann-sommen van de functie. Voor een functie met reële waarde gedefinieerd op een gesloten interval, de Riemann-integraal van de functie met betrekking tot een partitie x₁, x₂, …, x n _{gedefinieerd op het interval [a, b] en t}1_{, t}2_{, …, t n}, waarbij x_i ≤ t_i ≤ x_i+1 voor elke i ε {1, 2, …, n}, Riemann-som wordt gedefinieerd als Σ_{i=o tot n-1} ƒ(t_i)(x_i+1 – x_i).

Lebesgue Integraal

Lebesgue is een ander type integraal, dat een grote verscheidenheid aan gevallen dekt dan de Riemann-integraal. De lebesgue-integraal werd in 1902 geïntroduceerd door Henri Lebesgue. Legesgue-integratie kan worden beschouwd als een veralgemening van de Riemann-integratie.

Waarom moeten we nog een integraal bestuderen?

Laten we de karakteristieke functie ƒ_{A (x)=}{_{0 als, x niet ε A}^{1 beschouwen als, x ε A}op een verzameling A. Dan eindige lineaire combinatie van karakteristieke functies, gedefinieerd als F (x)=Σ a_{i ƒ E} i_{(x) wordt de eenvoudige functie genoemd als E} i _{meetbaar is voor elke i. De Lebesgue-integraal van F (x) over E wordt aangegeven met} E_{∫ ƒ(x)dx. De functie F (x) is niet Riemann-integreerbaar. Daarom is Lebesgue-integraal een herformulering van Riemann-integraal, die enkele beperkingen heeft op de functies die moeten worden geïntegreerd.}

Wat is het verschil tussen Riemann Integraal en Lebesgue Integraal?

· De Lebesgue-integraal is een generalisatievorm van de Riemann-integraal.

· De Lebesgue-integraal staat een aftelbaar oneindig aantal discontinuïteiten toe, terwijl de Riemann-integraal een eindig aantal discontinuïteiten toestaat.