Populatie versus standaarddeviatie steekproef
In statistieken worden verschillende indices gebruikt om een gegevensset te beschrijven die overeenkomt met de centrale tendens, spreiding en scheefheid. Standaarddeviatie is een van de meest gebruikelijke maatstaven voor de verspreiding van gegevens vanuit het midden van de gegevensset.
Vanwege praktische problemen zal het bij het testen van een hypothese niet mogelijk zijn om gebruik te maken van gegevens van de hele populatie. Daarom gebruiken we gegevenswaarden van steekproeven om conclusies te trekken over de populatie. In een dergelijke situatie worden dit schatters genoemd omdat ze de populatieparameterwaarden schatten.
Het is uiterst belangrijk om onbevooroordeelde schatters te gebruiken bij gevolgtrekkingen. Een schatter is onbevooroordeeld als de verwachte waarde van die schatter gelijk is aan de populatieparameter. We gebruiken bijvoorbeeld het steekproefgemiddelde als een zuivere schatter voor het populatiegemiddelde. (Wiskundig kan worden aangetoond dat de verwachte waarde van het steekproefgemiddelde gelijk is aan het populatiegemiddelde). In het geval van het schatten van de standaarddeviatie van de populatie, is de standaarddeviatie van de steekproef ook een zuivere schatter.
Wat is de standaarddeviatie van de populatie?
Als gegevens van de hele populatie in aanmerking kunnen worden genomen (bijvoorbeeld in het geval van een volkstelling), is het mogelijk om de standaarddeviatie van de populatie te berekenen. Om de standaarddeviatie van de populatie te berekenen, worden eerst de afwijkingen van de gegevenswaarden van het populatiegemiddelde berekend. Het kwadratisch gemiddelde van afwijkingen wordt de populatiestandaarddeviatie genoemd.
In een klas van 10 leerlingen kunnen eenvoudig gegevens over de leerlingen worden verzameld. Als een hypothese wordt getest op deze populatie studenten, is het niet nodig om steekproefwaarden te gebruiken. De gewichten van de 10 studenten (in kilogram) worden bijvoorbeeld gemeten als 70, 62, 65, 72, 80, 70, 63, 72, 77 en 79. Dan is het gemiddelde gewicht van de tien personen (in kilogram) (70+62+65+72+80+70+63+72+77+79)/10, dat is 71 (in kilogram). Dit is het populatiegemiddelde.
Om nu de standaarddeviatie van de populatie te berekenen, berekenen we afwijkingen van het gemiddelde. De respectievelijke afwijkingen van het gemiddelde zijn (70 – 71)=-1, (62 – 71)=-9, (65 – 71)=-6, (72 – 71)=1, (80 – 71)=9, (70 – 71)=-1, (63 – 71)=-8, (72 – 71)=1, (77 – 71)=6 en (79 – 71)=8. De som van de kwadraten van de afwijking is (-1)2 + (-9)2 + (-6)2 + 1 2 + 92 + (-1)2 + (-8)2+ 12 + 62 + 82 =366. De standaarddeviatie van de populatie is √ (366/10)=6,05 (in kilogram). 71 is het exacte gemiddelde gewicht van de leerlingen van de klas en 6.05 is de exacte standaarddeviatie van het gewicht van 71.
Wat is de standaarddeviatie van het monster?
Wanneer gegevens van een steekproef (van grootte n) worden gebruikt om parameters van de populatie te schatten, wordt de standaarddeviatie van de steekproef berekend. Eerst worden de afwijkingen van de gegevenswaarden van het steekproefgemiddelde berekend. Aangezien het steekproefgemiddelde wordt gebruikt in plaats van het populatiegemiddelde (dat niet bekend is), is het niet geschikt om het kwadratisch gemiddelde te nemen. Om het gebruik van het steekproefgemiddelde te compenseren, wordt de som van de kwadraten van afwijkingen gedeeld door (n-1) in plaats van n. De standaarddeviatie van de steekproef is de vierkantswortel hiervan. In wiskundige symbolen is S=√{∑(xi-ẍ)2 / (n-1)}, waarbij S de standaarddeviatie van het monster is, ẍ is het steekproefgemiddelde en xi's zijn de gegevenspunten.
Veronderstel nu dat, in het vorige voorbeeld, de populatie de leerlingen van de hele school is. Dan is de klas slechts een voorbeeld. Als deze steekproef wordt gebruikt in de schatting, is de standaarddeviatie van de steekproef √(366/9)=6.38 (in kilogram) sinds 366 werd gedeeld door 9 in plaats van 10 (de steekproefomvang). Het feit om op te merken is dat dit niet gegarandeerd de exacte standaarddeviatiewaarde van de populatie is. Het is slechts een schatting ervoor.
Wat is het verschil tussen de standaarddeviatie van de populatie en de standaarddeviatie van de steekproef?
• Populatiestandaarddeviatie is de exacte parameterwaarde die wordt gebruikt om de spreiding vanuit het centrum te meten, terwijl de standaarddeviatie van de steekproef er een zuivere schatter voor is.
• De populatiestandaarddeviatie wordt berekend wanneer alle gegevens over elk individu van de populatie bekend zijn. Anders wordt de standaarddeviatie van het monster berekend.
• De standaarddeviatie van de populatie wordt gegeven door σ=√{ ∑(xi-µ)2/ n} waarbij µ het populatiegemiddelde is en n de populatiegrootte is, maar de steekproefstandaarddeviatie wordt gegeven door S=√{ ∑(xi-ẍ)2 / (n-1)} waarbij ẍ het steekproefgemiddelde is en n de steekproefomvang.
