Differentiatie versus afgeleide
In differentiaalrekening zijn afgeleiden en differentiatie nauw verwant, maar zeer verschillend, en worden ze gebruikt om twee belangrijke wiskundige concepten met betrekking tot functies weer te geven.
Wat is afgeleid?
Afgeleide van een functie meet de snelheid waarmee de functiewaarde verandert als de invoer verandert. In functies met meerdere variabelen hangt de verandering in de functiewaarde af van de richting van de verandering van de waarden van de onafhankelijke variabelen. Daarom wordt in dergelijke gevallen een specifieke richting gekozen en wordt de functie in die specifieke richting gedifferentieerd. Die afgeleide wordt de richtingsafgeleide genoemd. Gedeeltelijke afgeleiden zijn een speciaal soort directionele afgeleiden.
Afgeleide van een functie met vectorwaarde f kan worden gedefinieerd als de limiet [latex]\\frac{df}{d\\boldsymbol{u}}=\\lim_{h \to 0}\\frac {f(\boldsymbol{x}+h \\boldsymbol{u})-f(\boldsymbol{x})}{h}[/latex] waar het ook maar eindig bestaat. Zoals eerder vermeld, geeft dit ons de mate van toename van de functie f langs de richting van de vector u. In het geval van een functie met één waarde, reduceert dit tot de bekende definitie van de afgeleide, [latex]\\frac{df}{dx}=\\lim_{h \\to 0}\\frac{f (x+h)-f(x)}{h}[/latex]
Bijvoorbeeld, [latex]f(x)=x^{3}+4x+5[/latex] is overal differentieerbaar, en de afgeleide is gelijk aan de limiet, [latex]\\lim_{h \\naar 0}\\frac{(x+h)^{3}+4(x+h)+5-(x^{3}+4x+5)}{h}[/latex], dat is gelijk aan [latex]3x^{2}+4[/latex]. De afgeleiden van functies zoals [latex]e^{x}, \\sin x, \\cos x[/latex] bestaan overal. Ze zijn respectievelijk gelijk aan de functies [latex]e^{x}, \\cos x, – \\sin x[/latex].
Dit staat bekend als de eerste afgeleide. Gewoonlijk wordt de eerste afgeleide van functie f aangeduid met f (1) Met deze notatie is het nu mogelijk om afgeleiden van hogere orde te definiëren. [latex]\\frac{d^{2}f}{dx^{2}}=\\lim_{h \\to 0}\\frac{f^{(1)}(x+h)-f ^{(1)}(x)}{h}[/latex] is de afgeleide van de tweede orde, en duidt de n th derivaat aan met f (n) voor elke n, [latex]\\frac{d^{n}f}{dx^{n}}=\\lim_{h \\to 0}\\frac{f^{(n -1)}(x+h)-f^{(n-1)}(x)}{h}[/latex], definieert de n th afgeleide.
Wat is differentiatie?
Differentiatie is het proces van het vinden van de afgeleide van een differentieerbare functie. D-operator aangeduid met D staat voor differentiatie in sommige contexten. Als x de onafhankelijke variabele is, dan is D ≡ d/dx. De D-operator is een lineaire operator, d.w.z. voor elke twee differentieerbare functie f en g en constante c, waarbij volgende eigenschappen gelden.
I. D (f + g)=D (f) + D(g)
II. D (cf)=cD (f)
Met behulp van de D-operator kunnen de andere regels die verband houden met differentiatie als volgt worden uitgedrukt. D (f g)=D (f) g + f D (g), D (f/ g)=[D (f) g – f D (g)]/ g 2 and D (f o g)=(D (f) o g) D(g).
Bijvoorbeeld, wanneer F(x)=x 2sin x wordt gedifferentieerd met betrekking tot x met behulp van de gegeven regels, is het antwoord 2 x sin x + x2cos x.
Wat is het verschil tussen differentiatie en afgeleide?• Afgeleide verwijst naar een veranderingssnelheid van een functie • Differentiatie is het proces van het vinden van de afgeleide van een functie. |
