Cartesiaanse coördinaten versus poolcoördinaten
In Geometrie is een coördinatensysteem een referentiesysteem, waarbij getallen (of coördinaten) worden gebruikt om de positie van een punt of ander geometrisch element in de ruimte op unieke wijze te bepalen. Met de coördinatensystemen kunnen de geometrische problemen worden omgezet in een numeriek probleem, dat de basis vormt voor Analytische Meetkunde.
Cartesisch coördinatenstelsel en het poolcoördinatenstelsel zijn twee van de meest voorkomende coördinatenstelsels die in de wiskunde worden gebruikt.
Cartesische coördinaten
Cartesisch coördinatensysteem gebruikt de reële getallenlijn als referentie. In één dimensie loopt de getallenlijn van negatief oneindig naar positief oneindig. Gezien het punt 0 als het begin, kan de lengte naar elk punt worden gemeten. Dit biedt een unieke manier om een positie op de lijn te identificeren, met een enkel nummer.
Het concept kan worden uitgebreid tot twee en drie dimensies waarbij getallenlijnen loodrecht op elkaar worden gebruikt. Ze delen allemaal hetzelfde punt 0 als het begin. De getallenlijnen worden assen genoemd en vaak X-as, Y-as en Z-as genoemd. De afstand tot een punt langs elke as vanaf (0, 0, 0), ook bekend als de oorsprong, en gegeven als een tupel, staat bekend als de coördinaat van het punt. Een algemeen punt in deze ruimte kan worden weergegeven door de coördinaat (x, y, z). In een vlak systeem waar er slechts twee assen zijn, worden de coördinaten gegeven als (x, y). Een vlak dat door de assen wordt gemaakt, staat bekend als een Cartesisch vlak en wordt vaak aangeduid met de letters van de assen. bijv. XY-vlak.
Dit algemene punt kan worden gebruikt om verschillende geometrische elementen te beschrijven door het algemene punt te dwingen zich op specifieke manieren te gedragen. Bijvoorbeeld, vergelijking x^2+y^2=a^2 vertegenwoordigt een cirkel. In plaats van een cirkel met straal a te tekenen, is het mogelijk om de cirkel aan te duiden op een meer abstracte manier zoals hierboven weergegeven.
Polaire coördinaten
Polaire coördinaten gebruiken een verschilreferentiesysteem om een punt aan te duiden. Het poolcoördinatensysteem gebruikt de hoek tegen de klok in vanaf de positieve richting van de x-as en de afstand van de rechte lijn tot het punt als de coördinaten.
De poolcoördinaten kunnen worden weergegeven zoals hierboven in het tweedimensionale cartesiaanse coördinatensysteem.
De transformatie tussen polaire en cartesiaanse systemen wordt gegeven door de volgende relaties:
r=√(x2 + y2) ↔ x=r cosθ, y=r sinθ
θ=tan-1 (x/y)
Wat is het verschil tussen cartesiaanse en poolcoördinaten?
• Cartesische coördinaten gebruiken getallenlijnen als de assen en kunnen in één, twee of drie dimensies worden gebruikt. Heeft daarom de mogelijkheid om lineaire, vlakke en massieve geometrieën weer te geven.
• Polaire coördinaten gebruiken een hoek en een lengte als de coördinaten, en het kan alleen lineaire en vlakke geometrieën vertegenwoordigen, hoewel het kan worden ontwikkeld tot een cilindrisch coördinatensysteem om vaste geometrieën weer te geven.
• Beide systemen worden gebruikt om denkbeeldige getallen weer te geven door de denkbeeldige as te definiëren, en spelen een cruciale rol in complexe algebra. Hoewel Cartesiaanse coördinaten in de gewone vorm reële getallen zijn (x, y, z), zijn de coördinaten in het poolstelsel niet altijd reële getallen; d.w.z. als de hoek in graden wordt gegeven, zijn de coördinaten niet echt; als de hoek in radialen wordt gegeven, zijn de coördinaten reële getallen.
