Lineaire versus niet-lineaire differentiaalvergelijkingen
Een vergelijking die ten minste één differentiaalcoëfficiënt of afgeleide van een onbekende variabele bevat, staat bekend als een differentiaalvergelijking. Een differentiaalvergelijking kan lineair of niet-lineair zijn. Het doel van dit artikel is om uit te leggen wat lineaire differentiaalvergelijking is, wat niet-lineaire differentiaalvergelijking is en wat het verschil is tussen lineaire en niet-lineaire differentiaalvergelijkingen.
Sinds de ontwikkeling van calculus in de 18e eeuw door wiskundigen als Newton en Leibnitz, heeft differentiaalvergelijking een belangrijke rol gespeeld in het verhaal van de wiskunde. Differentiaalvergelijkingen zijn van groot belang in de wiskunde vanwege hun scala aan toepassingen. Differentiaalvergelijkingen vormen de kern van elk model dat we ontwikkelen om elk scenario of elke gebeurtenis in de wereld te verklaren, of het nu gaat om natuurkunde, techniek, scheikunde, statistiek, financiële analyse of biologie (de lijst is eindeloos). Totdat calculus een gevestigde theorie werd, waren er zelfs geen goede wiskundige hulpmiddelen beschikbaar om de interessante problemen in de natuur te analyseren.
Resulterende vergelijkingen van een specifieke toepassing van calculus kunnen erg complex zijn en soms niet oplosbaar. Er zijn er echter die we kunnen oplossen, maar die op elkaar kunnen lijken en verwarrend kunnen zijn. Daarom worden differentiaalvergelijkingen voor een eenvoudigere identificatie gecategoriseerd op basis van hun wiskundig gedrag. Lineair en niet-lineair is zo'n indeling. Het is belangrijk om het verschil tussen lineaire en niet-lineaire differentiaalvergelijkingen te identificeren.
Wat is een lineaire differentiaalvergelijking?
Stel dat f: X→Y en f(x)=y, een differentiaalvergelijking zonder niet-lineaire termen van de onbekende functie y en zijn afgeleiden bekend staat als een lineaire differentiaalvergelijking.
Het stelt de voorwaarde dat y geen hogere indextermen mag hebben zoals y2, y3, … en veelvouden van afgeleiden zoals als
Het mag ook geen niet-lineaire termen bevatten zoals Sin y, e y ^-2 of ln y. Het heeft de vorm,
waarbij y en g functies zijn van x. De vergelijking is een differentiaalvergelijking van orde n, die de index is van de afgeleide van de hoogste orde.
In een lineaire differentiaalvergelijking is de differentiaaloperator een lineaire operator en vormen de oplossingen een vectorruimte. Als gevolg van het lineaire karakter van de oplossingsverzameling is een lineaire combinatie van de oplossingen ook een oplossing voor de differentiaalvergelijking. Dat wil zeggen, als y1 en y2 oplossingen zijn van de differentiaalvergelijking, dan is C1 y 1+ C2 y2 is ook een oplossing.
De lineariteit van de vergelijking is slechts één parameter van de classificatie en kan verder worden onderverdeeld in homogene of niet-homogene en gewone of partiële differentiaalvergelijkingen. Als de functie g=0 is, dan is de vergelijking een lineaire homogene differentiaalvergelijking. Als f een functie is van twee of meer onafhankelijke variabelen (f: X, T→Y) en f(x, t)=y, dan is de vergelijking een lineaire partiële differentiaalvergelijking.
Oplossingsmethode voor de differentiaalvergelijking is afhankelijk van het type en de coëfficiënten van de differentiaalvergelijking. Het gemakkelijkste geval doet zich voor wanneer de coëfficiënten constant zijn. Klassiek voorbeeld voor dit geval is de tweede bewegingswet van Newton en de verschillende toepassingen ervan. De tweede wet van Newton produceert een lineaire differentiaalvergelijking van de tweede orde met constante coëfficiënten.
Wat is een niet-lineaire differentiaalvergelijking?
Vergelijkingen die niet-lineaire termen bevatten, staan bekend als niet-lineaire differentiaalvergelijkingen.
Alle bovenstaande zijn niet-lineaire differentiaalvergelijkingen. Niet-lineaire differentiaalvergelijkingen zijn moeilijk op te lossen, daarom is nauwkeurig onderzoek vereist om tot een juiste oplossing te komen. In het geval van partiële differentiaalvergelijkingen hebben de meeste vergelijkingen geen algemene oplossing. Daarom moet elke vergelijking afzonderlijk worden behandeld.
Navier-Stokes vergelijking en Euler's vergelijking in vloeistofdynamica, Einstein's veldvergelijkingen van de algemene relativiteitstheorie zijn bekende niet-lineaire partiële differentiaalvergelijkingen. Soms kan de toepassing van de Lagrange-vergelijking op een variabel systeem resulteren in een stelsel van niet-lineaire partiële differentiaalvergelijkingen.
Wat is het verschil tussen lineaire en niet-lineaire differentiaalvergelijkingen?
• Een differentiaalvergelijking, die alleen de lineaire termen van de onbekende of afhankelijke variabele en zijn afgeleiden heeft, staat bekend als een lineaire differentiaalvergelijking. Het heeft geen term met de afhankelijke variabele index hoger dan 1 en bevat geen veelvoud van zijn afgeleiden. Het kan geen niet-lineaire functies hebben, zoals trigonometrische functies, exponentiële functies en logaritmische functies met betrekking tot de afhankelijke variabele. Elke differentiaalvergelijking die bovengenoemde termen bevat, is een niet-lineaire differentiaalvergelijking.
• Oplossingen van lineaire differentiaalvergelijkingen creëren vectorruimte en de differentiaaloperator is ook een lineaire operator in vectorruimte.
• Oplossingen van lineaire differentiaalvergelijkingen zijn relatief eenvoudiger en er bestaan algemene oplossingen. Voor niet-lineaire vergelijkingen bestaat de algemene oplossing in de meeste gevallen niet en kan de oplossing probleemspecifiek zijn. Dit maakt de oplossing veel moeilijker dan de lineaire vergelijkingen.
