Wederzijds exclusieve vs onafhankelijke evenementen
Mensen verwarren het concept van elkaar uitsluitende evenementen vaak met onafhankelijke evenementen. In feite zijn dit twee verschillende dingen.
Laat A en B twee willekeurige gebeurtenissen zijn die verband houden met een willekeurig experiment E. P(A) wordt de "Waarschijnlijkheid van A" genoemd. Op dezelfde manier kunnen we de kans op B definiëren als P(B), de kans op A of B als P(A∪B), en de kans op A en B als P(A∩B). Dan, P(A∪B)=P(A)+ P(B)-P(A∩B).
Er zijn echter twee gebeurtenissen die elkaar uitsluiten als het optreden van de ene gebeurtenis geen invloed heeft op de andere. Met andere woorden, ze kunnen niet tegelijkertijd voorkomen. Dus als twee gebeurtenissen A en B elkaar uitsluiten, dan is A∩B=∅ en dus impliceert dat P(A∪B)=P(A)+ P(B).
Laat A en B twee gebeurtenissen zijn in een steekproefruimte S. Voorwaardelijke kans op A, gegeven dat B heeft plaatsgevonden, wordt aangeduid met P(A | B) en wordt gedefinieerd als; P(A | B)=P(A∩B)/P(B), mits P(B)>0. (anders is het niet gedefinieerd.)
Er wordt gezegd dat een gebeurtenis A onafhankelijk is van een gebeurtenis B, als de kans dat A zich voordoet niet wordt beïnvloed door het feit of B al dan niet heeft plaatsgevonden. Met andere woorden, de uitkomst van gebeurtenis B heeft geen effect op de uitkomst van gebeurtenis A. P(A | B)=P(A). Evenzo is B onafhankelijk van A als P(B)=P(B | A). We kunnen dus concluderen dat als A en B onafhankelijke gebeurtenissen zijn, dan P(A∩B)=P(A). P(B)
Veronderstel dat een genummerde kubus wordt gegooid en een eerlijke munt wordt omgedraaid. Laat A de gebeurtenis zijn die een kop krijgt en B de gebeurtenis die een even getal gooit. Dan kunnen we concluderen dat gebeurtenissen A en B onafhankelijk zijn, omdat die uitkomst van de een de uitkomst van de ander niet beïnvloedt. Daarom, P(A∩B)=P(A). P(B)=(1/2)(1/2)=1/4. Aangezien P(A∩B)≠0, A en B elkaar niet uitsluiten.
Stel dat een urn 7 witte knikkers en 8 zwarte knikkers bevat. Definieer gebeurtenis A als het trekken van een witte knikker en gebeurtenis B als het trekken van een zwarte knikker. Ervan uitgaande dat elke knikker wordt vervangen nadat de kleur is genoteerd, zullen P(A) en P(B) altijd hetzelfde zijn, ongeacht hoe vaak we uit de urn trekken. Het vervangen van de knikkers betekent dat de kansen niet veranderen van trekking tot trekking, ongeacht de kleur die we bij de laatste trekking hebben gekozen. Daarom zijn gebeurtenis A en B onafhankelijk.
Als er echter knikkers worden getrokken zonder vervanging, verandert alles. Onder deze aanname zijn de gebeurtenissen A en B niet onafhankelijk. Als u de eerste keer een witte knikker trekt, verandert de kans op het trekken van een zwarte knikker bij de tweede trekking enzovoort. Met andere woorden, elke trekking heeft een effect op de volgende trekking, en dus zijn de individuele trekkingen niet onafhankelijk.
Verschil tussen wederzijds exclusieve en onafhankelijke evenementen
– Wederzijdse exclusiviteit van gebeurtenissen betekent dat er geen overlap is tussen de sets A en B. Onafhankelijkheid van gebeurtenissen betekent dat het gebeuren van A geen invloed heeft op het gebeuren van B.
– Als twee gebeurtenissen A en B elkaar uitsluiten, dan is P(A∩B)=0.
– Als twee gebeurtenissen A en B onafhankelijk zijn, dan is P(A∩B)=P(A). P(B)
