Verschil tussen transponeren en geconjugeerd transponeren

2024 Auteur: Alex Aldridge | [email protected]. Laatst gewijzigd: 2023-12-17 13:46

Transponeren vs Conjugeren Transponeren

Transponeren van een matrix A kan worden geïdentificeerd als de matrix die wordt verkregen door de kolommen als rijen of rijen als kolommen te herschikken. Als gevolg hiervan worden de indices van elk element verwisseld. Meer formeel, transponeren van een matrix A, wordt gedefinieerd als

waar

In een transponeermatrix blijft de diagonaal ongewijzigd. Maar alle andere elementen zijn rond de diagonaal geroteerd. Ook verandert de grootte van de matrices van m×n in n×m.

De transponering heeft een aantal belangrijke eigenschappen, en ze maken het manipuleren van matrices gemakkelijker. Ook worden enkele belangrijke transponeermatrices gedefinieerd op basis van hun kenmerken. Als de matrix gelijk is aan zijn getransponeerde, dan is de matrix symmetrisch. Als de matrix gelijk is aan het negatief van de getransponeerde, dan is de matrix scheef symmetrisch.

De geconjugeerde transponering van een matrix is de transponering van de matrix waarbij de elementen zijn vervangen door zijn complexe conjugaat. Dat wil zeggen, het complexe geconjugeerde (A^{) wordt gedefinieerd als de transponering van het complexe geconjugeerde van matrix A.}

A=(Ā)^{T; In detail,}

waar

and ā_{ji ε C.}

Het is ook bekend als de Hermitische transponering en Hermitische conjugaat. Als de geconjugeerde transponering gelijk is aan de matrix zelf, staat de matrix bekend als een Hermitische matrix. Als geconjugeerd transponeren gelijk is aan het negatief van de matrix, is het een scheve Hermitische matrix. En als de inverse van de matrix gelijk is aan het complexe geconjugeerde, is de matrix unitair.

Evenzo heeft alle complexe conjugaat van speciale matrices ook speciale eigenschappen die kunnen worden gebruikt om ze gemakkelijk wiskundig te manipuleren. De geconjugeerde transponering wordt veel gebruikt in de kwantummechanica en de relevante velden.

Wat is het verschil tussen transponeren en geconjugeerd transponeren?

• Transponeren van een matrix wordt verkregen door kolommen te herschikken in rijen, of rijen in kolommen. Het complexe geconjugeerde van een matrix wordt verkregen door elk element te vervangen door zijn complexe geconjugeerde (d.w.z. x+iy ⇛ x-iy of vice versa). De geconjugeerde transponering wordt verkregen door beide bewerkingen op de matrix uit te voeren.

• Daarom is geconjugeerd transponeren slechts een transponeermatrix met zijn complexe conjugaten als de elementen.