Kardinaal vs Ordinaal
In ons dagelijks leven kan het gebruik van cijfers in verschillende situaties verschillende vormen aannemen. Als we bijvoorbeeld tellen om de grootte van een verzameling objecten te bepalen, tellen we ze als één, twee, drie, enzovoort. Als we iets willen tellen om een idee te krijgen van de positie van de objecten, tellen we ze als eerste, tweede, derde, enzovoort. In de eerste vorm van tellen wordt gezegd dat getallen kardinale getallen zijn. In de tweede vorm van tellen worden de getallen beschouwd als ordinale getallen. In deze context zijn de begrippen kardinaal en ordinaal volledig een kwestie van taalkunde; kardinaal en ordinaal zijn bijvoeglijke naamwoorden.
De uitbreiding van het concept tot verzamelingen in de wiskunde onthult echter een veel dieper en breder perspectief en kan niet in eenvoudige bewoordingen worden behandeld. In dit artikel zullen we proberen de fundamentele concepten van hoofd- en rangtelwoorden in de wiskunde te begrijpen.
Formele definities van hoofdtelwoorden en rangtelwoorden worden gegeven in de verzamelingenleer. De definities zijn ingewikkeld en om ze in perfecte zin te begrijpen, is achtergrondkennis van de verzamelingenleer nodig. Daarom gaan we naar een aantal voorbeelden om de concepten heuristisch te begrijpen.
Beschouw de twee sets {1, 3, 6, 4, 5, 2} en {bus, auto, veerboot, trein, vliegtuig, helikopter}. Elke set somt een set elementen op, en als we het aantal elementen tellen, is het duidelijk dat elk hetzelfde aantal elementen heeft, namelijk 6. We zijn tot deze conclusie gekomen en hebben de grootte van de ene set genomen en vergeleken met een andere met behulp van een nummer. Zo'n getal wordt een kardinaal getal genoemd. Daarom kunnen we zeggen dat een hoofdtelwoord een getal is dat we kunnen gebruiken om de grootte van de eindige verzamelingen te vergelijken.
Wederom kan de eerste reeks getallen in oplopende volgorde worden gerangschikt, rekening houdend met de grootte van elk element en ze te vergelijken. Tijdens het bestelproces worden de nummers als kardinalen beschouwd. Evenzo kan de verzameling van alle niet-negatieve gehele getallen in een verzameling worden gerangschikt; d.w.z. {0, 1, 2, 3, 4, ….}. Maar in dit geval wordt de grootte van de verzameling oneindig en is het niet mogelijk om deze in termen van rangtelwoorden te geven. Het maakt niet uit hoe groot een getal je kiest om de grootte van de set te geven, er zullen nog steeds getallen worden weggelaten uit de set die je kiest en die niet-negatieve gehele getallen zijn.
Daarom definiëren wiskundigen deze oneindige kardinaal (die de eerste is) als Aleph-0, geschreven als א (eerste letter in het Hebreeuwse alfabet). Formeel is het volgnummer het ordertype van een goed geordende set. Daarom kan het rangtelwoord van de eindige verzamelingen worden gegeven door hoofdtelwoorden, maar voor oneindige verzamelingen wordt het rangtelwoord gegeven door transfiniete getallen zoals Aleph-0.
Wat is het verschil tussen kardinale en rangtelwoorden?
• Het hoofdtelwoord is een getal dat kan worden gebruikt om te tellen, of om de grootte van een eindige geordende verzameling te geven. Alle hoofdtelwoorden zijn rangtelwoorden.
• De rangtelwoorden zijn getallen die worden gebruikt om de grootte van zowel eindige als oneindig geordende verzamelingen aan te geven. De grootte van de eindige geordende verzamelingen wordt gegeven door de gebruikelijke hindoe-Arabische algebraïsche cijfers, en de oneindige verzameling wordt gegeven door transfiniete getallen.
