Afgeleide vs Integraal
Differentiatie en integratie zijn twee fundamentele bewerkingen in Calculus. Ze hebben tal van toepassingen op verschillende gebieden, zoals wiskunde, techniek en natuurkunde. Zowel afgeleiden als integraal bespreken het gedrag van een functie of het gedrag van een fysieke entiteit waarin we geïnteresseerd zijn.
Wat is afgeleid?
Stel dat y=ƒ(x) en x0 in het domein van ƒ is. Dan limΔx→∞Δy/Δx=limΔx→∞[ƒ(x 0+Δx) − ƒ(x0)]/Δx wordt de momentane veranderingssnelheid van ƒ genoemd bij x0, op voorwaarde dat deze limiet eindig bestaat. Deze limiet wordt ook wel de afgeleide van at genoemd en wordt aangegeven met ƒ(x).
De waarde van de afgeleide van een functie f op een willekeurig punt x in het domein van de functie wordt gegeven door limΔx→∞ [ƒ(x+Δx) − ƒ(x)]/Δx. Dit wordt aangegeven met een van de volgende uitdrukkingen: y, ƒ(x), ƒ, dƒ(x)/dx, dƒ/dx, Dxy.
Voor functies met meerdere variabelen definiëren we partiële afgeleide. De partiële afgeleide van een functie met meerdere variabelen is de afgeleide ervan naar een van die variabelen, ervan uitgaande dat de andere variabelen constanten zijn. Het symbool van de partiële afgeleide is ∂.
Geometrisch kan de afgeleide van een functie worden geïnterpreteerd als de helling van de kromme van de functie ƒ(x).
Wat is integraal?
Integratie of anti-differentiatie is het omgekeerde proces van differentiatie. Met andere woorden, het is het proces van het vinden van een originele functie wanneer de afgeleide van de functie wordt gegeven. Daarom kan een integraal of een anti-afgeleide van een functie ƒ(x) if, ƒ(x)=F (x) gedefinieerd worden als de functie F (x), voor alle x in het domein van ƒ(x).
De uitdrukking ∫ƒ(x) dx geeft de afgeleide van functie ƒ(x) aan. Als ƒ(x)=F (x), dan ∫ƒ(x) dx=F (x)+C, waarbij C een constante is, wordt ∫ƒ(x) dx de onbepaalde integraal van ƒ(x) genoemd.
Voor elke functie ƒ, die niet noodzakelijk niet-negatief is, en gedefinieerd op het interval [a, b], a∫b ƒ(x) dx heet de bepaalde integraal ƒ op [a, b].
De bepaalde integraal a∫bƒ(x) dx van een functie ƒ(x) kan geometrisch worden geïnterpreteerd als de oppervlakte van de gebied begrensd door de kromme ƒ(x), de x-as, en de lijnen x=a en x=b.
Wat is het verschil tussen afgeleid en integraal?
• Afgeleide is het resultaat van de procesdifferentiatie, terwijl integraal het resultaat is van de procesintegratie.
• Afgeleide van een functie vertegenwoordigt de helling van de kromme op een bepaald punt, terwijl integraal het gebied onder de kromme vertegenwoordigt.
