Lineaire vergelijking versus kwadratische vergelijking
In de wiskunde zijn algebraïsche vergelijkingen vergelijkingen die worden gevormd met behulp van veeltermen. Wanneer expliciet geschreven, zullen de vergelijkingen van de vorm P(x)=0 zijn, waarbij x een vector is van n onbekende variabelen en P een polynoom is. Bijvoorbeeld, P(x, y)=x4 + y3 + x2y + 5=0 is een algebraïsche vergelijking van twee variabelen die expliciet zijn geschreven. Ook (x+y)3=3x2y – 3zy4 is een algebraïsche vergelijking, maar in impliciete vorm. Het heeft de vorm Q(x, y, z)=x3 + y3 + 3xy2 +3zy4=0, eenmaal expliciet geschreven.
Een belangrijk kenmerk van een algebraïsche vergelijking is de graad. Het wordt gedefinieerd als de hoogste macht van de termen die in de vergelijking voorkomen. Als een term uit twee of meer variabelen bestaat, wordt de som van de exponenten van elke variabele genomen als de macht van de term. Merk op dat volgens deze definitie P(x, y)=0 van graad 4 is, terwijl Q(x, y, z)=0 van graad 5. is
Lineaire vergelijkingen en kwadratische vergelijkingen zijn twee verschillende soorten algebraïsche vergelijkingen. De graad van de vergelijking is de factor die ze onderscheidt van de rest van de algebraïsche vergelijkingen.
Wat is een lineaire vergelijking?
Een lineaire vergelijking is een algebraïsche vergelijking van graad 1. Bijvoorbeeld, 4x + 5=0 is een lineaire vergelijking van één variabele. x + y + 5z=0 en 4x=3w + 5y + 7z zijn lineaire vergelijkingen van respectievelijk 3 en 4 variabelen. In het algemeen zal een lineaire vergelijking van n variabelen de vorm aannemen m1x1+m 2x2+…+ mn-1x n-1+ mnxn=b. Hier zijn xi's de onbekende variabelen, zijn mi's en b reële getallen waarbij elk van mi is niet-nul.
Zo'n vergelijking stelt een hypervlak voor in de n-dimensionale Euclidische ruimte. In het bijzonder vertegenwoordigt een lineaire vergelijking met twee variabelen een rechte lijn in het Cartesiaanse vlak en een lineaire vergelijking met drie variabelen vertegenwoordigt een vlak op de Euclidische 3-ruimte.
Wat is een kwadratische vergelijking?
Een kwadratische vergelijking is een algebraïsche vergelijking van de tweede graad. x2 + 3x + 2=0 is een enkele variabele kwadratische vergelijking. x2 + y2 + 3x=4 en 4x2 + y2+ 2z2 + x + y + z=4 zijn voorbeelden van kwadratische vergelijkingen van respectievelijk 2 en 3 variabelen.
In het geval met één variabele is de algemene vorm van een kwadratische vergelijking ax2 + bx + c=0. Waarbij a, b, c reële getallen zijn waaruit 'a' is niet nul. De discriminant ∆=(b2 – 4ac) bepa alt de aard van de wortels van de kwadratische vergelijking. De wortels van de vergelijking zullen echt onderscheiden, echt vergelijkbaar en complex zijn, aangezien ∆ positief, nul en negatief is. De wortels van de vergelijking kunnen gemakkelijk worden gevonden met behulp van de formule x=(- b ± √∆) / 2a.
In het geval met twee variabelen is de algemene vorm ax2 + by2 + cxy + dx + ex + f=0, en dit vertegenwoordigt een kegelsnede (parabool, hyperbool of ellips) in het Cartesiaanse vlak. In hogere dimensies vertegenwoordigt dit type vergelijkingen hyperoppervlakken die bekend staan als kwadraten.
Wat is het verschil tussen lineaire en kwadratische vergelijkingen?
• Een lineaire vergelijking is een algebraïsche vergelijking van graad 1, terwijl een kwadratische vergelijking een algebraïsche vergelijking van graad 2 is.
• In de n-dimensionale Euclidische ruimte is de oplossingsruimte van een n-variabele lineaire vergelijking een hypervlak, terwijl die van een n-variabele kwadratische vergelijking een kwadratisch oppervlak is.
