Lineaire vergelijking versus niet-lineaire vergelijking
In de wiskunde zijn algebraïsche vergelijkingen vergelijkingen die worden gevormd met behulp van veeltermen. Wanneer expliciet geschreven, zullen de vergelijkingen van de vorm P(x)=0 zijn, waarbij x een vector is van n onbekende variabelen en P een polynoom is. Bijvoorbeeld, P(x, y)=4x5 + xy3 + y + 10=0 is een algebraïsche vergelijking in twee variabelen die expliciet zijn geschreven. Ook (x+y)3 =3x2y – 3zy4 is een algebraïsche vergelijking, maar in impliciete vorm en het zal de vorm aannemen Q(x, y, z)=x3 + y3 + 3xy 2 +3zy4=0, eenmaal expliciet geschreven.
Een belangrijk kenmerk van een algebraïsche vergelijking is de graad. Het wordt gedefinieerd als de hoogste macht van de termen die in de vergelijking voorkomen. Als een term uit twee of meer variabelen bestaat, wordt de som van de exponenten van elke variabele genomen als de macht van de term. Merk op dat volgens deze definitie P(x, y)=0 graad 5 is, terwijl Q(x, y, z)=0 graad 5 is.
Lineaire vergelijkingen en niet-lineaire vergelijkingen zijn een twee-partitie gedefinieerd op de verzameling algebraïsche vergelijkingen. De graad van de vergelijking is de factor die ze van elkaar onderscheidt.
Wat is een lineaire vergelijking?
Een lineaire vergelijking is een algebraïsche vergelijking van graad 1. Bijvoorbeeld, 4x + 5=0 is een lineaire vergelijking van één variabele. x + y + 5z=0 en 4x=3w + 5y + 7z zijn lineaire vergelijkingen van respectievelijk 3 en 4 variabelen. In het algemeen zal een lineaire vergelijking van n variabelen de vorm aannemen m1x1 + m2x 2 +…+ mn-1xn-1 + mn xn =b. Hier zijn xi's de onbekende variabelen, zijn mi's en b reële getallen waarbij elk van mi is niet-nul.
Zo'n vergelijking stelt een hypervlak voor in de n-dimensionale Euclidische ruimte. In het bijzonder vertegenwoordigt een lineaire vergelijking met twee variabelen een rechte lijn in het Cartesiaanse vlak en een lineaire vergelijking met drie variabelen vertegenwoordigt een vlak op de Euclidische 3-ruimte.
Wat is een niet-lineaire vergelijking?
Een kwadratische vergelijking is een algebraïsche vergelijking, die niet lineair is. Met andere woorden, een niet-lineaire vergelijking is een algebraïsche vergelijking van graad 2 of hoger. x2 + 3x + 2=0 is een enkele variabele niet-lineaire vergelijking. x2 + y3+ 3xy=4 en 8yzx2 + y2+ 2z2 + x + y + z=4 zijn voorbeelden van niet-lineaire vergelijkingen van respectievelijk 3 en 4 variabelen.
Een niet-lineaire vergelijking van de tweede graad wordt een kwadratische vergelijking genoemd. Als de graad 3 is, wordt dit een derdegraadsvergelijking genoemd. De graad 4 en graad 5 vergelijkingen worden respectievelijk kwart- en quintische vergelijkingen genoemd. Het is bewezen dat er geen analytische methode bestaat om een niet-lineaire vergelijking van graad 5 op te lossen, en dit geldt ook voor elke hogere graad. Oplosbare niet-lineaire vergelijkingen vertegenwoordigen hyperoppervlakken die geen hypervlakken zijn.
Wat is het verschil tussen lineaire vergelijking en niet-lineaire vergelijking?
• Een lineaire vergelijking is een algebraïsche vergelijking van graad 1, maar een niet-lineaire vergelijking is een algebraïsche vergelijking van graad 2 of hoger.
• Hoewel elke lineaire vergelijking analytisch oplosbaar is, is dit niet het geval in niet-lineaire vergelijkingen.
• In de n-dimensionale Euclidische ruimte is de oplossingsruimte van een n-variabele lineaire vergelijking een hypervlak, terwijl die van een n-variabele niet-lineaire vergelijking een hyperoppervlak is, dat geen hypervlak is. (Quadrics, kubieke oppervlakken en etc.)
