Verschil tussen Power Series en Taylor Series

2024 Auteur: Alex Aldridge | [email protected]. Laatst gewijzigd: 2023-12-17 13:46

Power Series vs Taylor Series

In de wiskunde is een reële rij een geordende lijst van reële getallen. Formeel is het een functie van de verzameling natuurlijke getallen in de verzameling reële getallen. Als a_n de n^th term van een rij is, geven we de rij aan met of met een ₁, a ₂, …, a_n, …. Beschouw bijvoorbeeld de reeks 1, ½, ⅓, …, ¹ / _{n, …. Het kan worden aangeduid als {1/n}.}

Het is mogelijk om een reeks te definiëren met behulp van reeksen. Een reeks is de som van de termen van een reeks. Daarom is er voor elke reeks een bijbehorende reeks en vice versa. Als {a_{n} de betreffende rij is, dan kan de reeks gevormd door die rij worden weergegeven als:}

In het bovenstaande voorbeeld is de bijbehorende reeks dus 1+¹/₂+^{1 /}3_{+ … +} 1^/ n _{+ ….}

Zoals de namen al doen vermoeden, is de machtreeks een speciaal type reeks en wordt deze veel gebruikt in numerieke analyse en verwante wiskundige modellering. Taylor-reeks is een speciale machtreeks die een alternatieve en gemakkelijk te manipuleren manier biedt om bekende functies weer te geven.

Wat is Power-serie?

Een machtreeks is een reeks van de vorm

die (mogelijk) convergent is voor een interval gecentreerd op c. De coëfficiënten a_{nkunnen reële of complexe getallen zijn en is onafhankelijk van x; d.w.z. de dummy variabele.}

Door bijvoorbeeld a_n=1 in te stellen voor elke n, en c=0, wordt de machtreeks 1+x+x² +…..+ x^{+… wordt verkregen. Het is gemakkelijk in te zien dat wanneer x ε (-1, 1), deze machtreeks convergeert naar 1/(1-x).}

Een machtreeks convergeert wanneer x=c. De andere waarden van x waarvoor de machtreeks convergeert, zullen altijd de vorm aannemen van een open interval gecentreerd op c. Dat wil zeggen, er zal een waarde 0≤ R ≤ ∞ zijn zodat voor elke x die voldoet aan |x-c|≤ R, de machtreeks convergent is en voor elke x die voldoet aan |x-c|> R, de machtreeks divergent is. Deze waarde R wordt de convergentiestraal van de machtreeks genoemd (R kan elke reële waarde of positieve oneindigheid aannemen).

Machtreeksen kunnen worden opgeteld, afgetrokken, vermenigvuldigd en gedeeld met behulp van de volgende regels. Beschouw de twee machtreeksen:

Dan,

i.e. gelijke termen worden bij elkaar opgeteld of afgetrokken. Het is ook mogelijk om de twee machtreeksen te vermenigvuldigen en te delen met behulp van de identiteit,

Wat is Taylor-serie?

Taylor-reeks is gedefinieerd voor een functie f (x) die oneindig differentieerbaar is op een interval. Neem aan dat f (x) differentieerbaar is op een interval gecentreerd op c. Dan de machtreeks die wordt gegeven door

heet de Taylorreeksexpansie van de functie f (x) rond c. (Hier duidt f⁽ⁿ⁾ (c) de n^{th derivaat aan bij x=c). In numerieke analyse wordt een eindig aantal termen in deze oneindige expansie gebruikt bij het berekenen van waarden op punten waar de reeks convergeert naar de oorspronkelijke functie.}

Een functie f (x) zou analytisch zijn in het interval (a, b), als voor elke x ε (a, b), de Taylorreeks van f (x) convergeert naar de functie f (x). Bijvoorbeeld, 1/(1-x) is analytisch op (-1, 1), aangezien de Taylor-uitbreiding 1+x+x²+….+ x ^{+… convergeert naar de functie op dat interval, en e}x ^{is overal analytisch, aangezien de Taylorreeks van e}x ^{convergeert naar e} x ^{voor elk reëel getal x.}

Wat is het verschil tussen Power-serie en Taylor-serie?

1. Taylorreeks is een speciale klasse van machtreeksen die alleen gedefinieerd zijn voor functies die oneindig differentieerbaar zijn op een open interval.

2. Taylor-series hebben de speciale vorm

terwijl een machtreeks elke reeks van de vorm kan zijn