Verschilvergelijking versus differentiaalvergelijking
Een natuurverschijnsel kan wiskundig worden beschreven door functies van een aantal onafhankelijke variabelen en parameters. Vooral wanneer ze worden uitgedrukt door een functie van ruimtelijke positie en tijd, resulteert dit in vergelijkingen. De functie kan veranderen met de verandering in de onafhankelijke variabelen of de parameters. Een oneindig kleine verandering die plaatsvindt in de functie wanneer een van zijn variabelen wordt gewijzigd, wordt de afgeleide van die functie genoemd.
Een differentiaalvergelijking is elke vergelijking die zowel afgeleiden van een functie als de functie zelf bevat. Een eenvoudige differentiaalvergelijking is die van de tweede bewegingswet van Newton. Als een object met massa m beweegt met versnelling 'a' en wordt bewerkt met kracht F, dan vertelt de tweede wet van Newton ons dat F=ma. Ook hier varieert 'a' met de tijd, we kunnen 'a' herschrijven als; a=dv/dt; v is snelheid. Snelheid is functie van ruimte en tijd, dat is v=ds/dt; daarom ‘a’=d2s/dt2
Met deze in gedachten kunnen we de tweede wet van Newton herschrijven als een differentiaalvergelijking;
‘F’ als functie van v en t – F(v, t)=mdv/dt, of
'F' als functie van s en t – F(s, ds/dt, t)=m d2s/dt2
Er zijn twee soorten differentiaalvergelijkingen; gewone differentiaalvergelijking, afgekort met ODE of partiële differentiaalvergelijking, afgekort met PDE. Gewone differentiaalvergelijking zal gewone afgeleiden bevatten (afgeleiden van slechts één variabele). Gedeeltelijke differentiaalvergelijking zal differentiële afgeleiden (afgeleiden van meer dan één variabele) bevatten.
e.g. F=m d2s/dt2 is een ODE, terwijl α2 d 2u/dx2=du/dt is een PDE, het heeft afgeleiden van t en x.
Verschilvergelijking is hetzelfde als differentiaalvergelijking, maar we bekijken het in een andere context. In differentiaalvergelijkingen wordt de onafhankelijke variabele zoals tijd beschouwd in de context van een continu tijdsysteem. In het discrete tijdsysteem noemen we de functie als differentievergelijking.
Verschilvergelijking is een functie van verschillen. De verschillen in de onafhankelijke variabelen zijn drie typen; reeks van getallen, discreet dynamisch systeem en herhaalde functie.
In volgorde van nummers wordt de verandering recursief gegenereerd met behulp van een regel om elk nummer in de reeks te relateren aan eerdere nummers in de reeks.
Verschilvergelijking in een discreet dynamisch systeem neemt een discreet ingangssignaal en produceert een uitgangssignaal.
Verschilvergelijking is een herhaalde kaart voor een herhaalde functie. Bijvoorbeeld y0, f(y0), f(f (y0)), f(f(f(y0))), ….is de reeks van een herhaalde functie. De f(y0) is de eerste iteratie van y0 De k-de iteratie wordt aangeduid met fk (y0).
